梯度、散度、旋度

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1、拉普拉斯算子維基百科，自由的百科全書跳轉(zhuǎn)到：導(dǎo)航,搜索在數(shù)學(xué)以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（Laplaceoperator或Laplacian）是一個(gè)微分算子，通常寫成Δ或；這是為了紀(jì)念皮埃爾-西蒙·拉普拉斯而命名的。拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓型算子中的一個(gè)重要例子。在物理中，常用於波方程的數(shù)學(xué)模型、熱傳導(dǎo)方程以及亥姆霍茲方程。在靜電學(xué)中，拉普拉斯方程和泊松方程的應(yīng)用隨處可見。在量子力學(xué)中，其代表薛丁格方程式中的動(dòng)能項(xiàng)。在數(shù)學(xué)中，經(jīng)拉普拉斯算子運(yùn)算為零的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)；拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調(diào)的結(jié)果。目錄[隱藏]·1定義·2坐標(biāo)表示式o2.1

2、二維空間o2.2三維空間o2.3N維空間·3恒等式·4推廣o4.1拉普拉斯-貝爾特拉米算子·5參考文獻(xiàn)·6外部連結(jié)[編輯]定義拉普拉斯算子是n維歐幾里得空間中的一個(gè)二階微分算子，定義為梯度（）的散度（）。因此如果f是二階可微的實(shí)函數(shù)，則f的拉普拉斯算子定義為：???(1)f的拉普拉斯算子也是笛卡兒坐標(biāo)系xi中的所有非混合二階偏導(dǎo)數(shù)：???(2)作為一個(gè)二階微分算子，拉普拉斯算子把Ck函數(shù)映射到Ck-2函數(shù)，對(duì)于k?≥?2。表達(dá)式(1)（或(2)）定義了一個(gè)算子Δ?:Ck(Rn)→Ck-2(Rn)，或更一般地，定義了一個(gè)算子Δ?:Ck(Ω)→Ck-2(Ω)，對(duì)于任何開集Ω。函數(shù)的拉普拉斯算

3、子也是該函數(shù)的黑塞矩陣的跡：[編輯]坐標(biāo)表示式[編輯]二維空間其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標(biāo)另外極坐標(biāo)的表示法為：[編輯]三維空間笛卡兒坐標(biāo)系下的表示法圓柱坐標(biāo)系下的表示法球坐標(biāo)系下的表示法[編輯]N維空間在參數(shù)方程為（其中以及）的N維球坐標(biāo)系中，拉普拉斯算子為：其中是N?1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把的項(xiàng)寫成。[編輯]恒等式·如果f和g是兩個(gè)函數(shù)，則它們的乘積的拉普拉斯算子為：f是徑向函數(shù)f(r)且g是球諧函數(shù)Ylm(θ,φ)，是一個(gè)特殊情況。這個(gè)情況在許多物理模型中有所出現(xiàn)。f(r)的梯度是一個(gè)徑向向量，而角函數(shù)的梯度與徑向向量相切，因此：球諧函數(shù)還是球坐

4、標(biāo)系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函數(shù)：因此：[編輯]推廣拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間，這時(shí)它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。在閔可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變?yōu)檫_(dá)朗貝爾算子：達(dá)朗貝爾算子通常用來表達(dá)克萊因-高登方程以及四維波動(dòng)方程。第四個(gè)項(xiàng)前面的符號(hào)是負(fù)號(hào)，而在歐幾里德空間中則是正號(hào)。因子c是需要的，這是因?yàn)闀r(shí)間和空間通常用不同的單位來衡量；如果x方向用寸來衡量，y方向用厘米來衡量，也需要一個(gè)類似的因子。[編輯]拉普拉斯-貝爾特拉米算子主條目：拉普拉斯–貝爾特拉米算子拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子

5、。達(dá)朗貝爾算子則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型算子。拉普拉斯–貝爾特拉米算子還可以推廣為運(yùn)行于張量場(chǎng)上的算子（也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米算子）。另外一種把拉普拉斯算子推廣到偽黎曼流形的方法，是通過拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恒等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米算子聯(lián)系起來。