散度,旋度,梯度

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1、散度　　散度（divergence）的概念：　　在矢量場F中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S，當(dāng)S所限定的體積ΔV以任何方式趨近于0時，則比值∮F·dS/ΔV的極限稱為矢量場F在點M處的散度，并記作divF　　由散度的定義可知，divF表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量F的通量，所以divF描述了通量源的密度。　　divF=▽·F　　氣象學(xué)：　　散度指流體運動時單位體積的改變率。簡單地說，流體在運動中集中的區(qū)域為輻合，運動中發(fā)散的區(qū)域為輻散。用以表示的量稱為散度，值為負(fù)時為輻合，此時有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強，為正時表示輻散，有利于天氣系統(tǒng)的

2、消散。表示輻合、輻散的物理量為散度?！　∥⒎e分學(xué)→多元微積分→多元函數(shù)積分：　　設(shè)某量場由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P、Q、R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Σ是場內(nèi)一有向曲面，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量，則∫∫A·ndS叫做向量場A通過曲面Σ向著指定側(cè)的通量，而δP/δx+δQ/δy+δR/δz叫做向量場A的散度，記作divA，即divA=δP/δx+δQ/δy+δR/δz。上述式子中的δ為偏微分（partialderivative）符號。梯度　　gradient　　設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度

3、、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度?！　≡谙蛄课⒎e分中，標(biāo)量場的梯度是一個向量場。標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴(yán)格的說，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況?！　≡趩巫兞康膶嵵岛瘮?shù)的情況，梯度只是導(dǎo)數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率?！　√荻纫辉~有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程

4、度?？梢酝ㄟ^取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時也被成為梯度?！　≡诙瘮?shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點P(x,y)∈D，都可以定出一個向量　　(δf/x)*i+(δf/y)*j　　這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)　　類似的對三元函數(shù)也可以定義一個：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k記為grad[f(x,y,z)]　　梯度的漢語詞義，用法?！　　冬F(xiàn)代漢語詞典》附：新詞新義　　梯度1.坡度。　　2.單位時間或單位距離內(nèi)某種現(xiàn)象（如

5、溫度、氣壓、密度、速度等）變化的程度?！　?.依照一定次序分層次地：我國經(jīng)濟發(fā)展由東向西～推進?！　?.依照一定次序分出的層次：考試命題要講究題型有變化，難易有～。旋度　　表示曲線、流體等旋轉(zhuǎn)程度的量。定義　　設(shè)有向量場　　A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k　　在坐標(biāo)軸上的投影分別為　　δR/δy-δQ/δz，δP/δz-δR/δx，δQ/δx-δP/δy　　的向量叫做向量場A的旋度，記作rotA或curlA，即　　rotA=(δR/δy-δQ/δz)i+(δP/δz-δR/δx)j+(δQ/δx-δP/δy)k　　

6、式中的δ為偏微分（partialderivative）符號。　　行列式記號　　旋度rotA的表達(dá)式可以用行列式記號形式表示：　　若A=Ax·i+Ay·j，　　則rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j　　若A=Ax·i+Ay·j+Az·k　　則rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k　　為一向量。外積　　把向量外積定義為：　　大?。篴×b=

7、a

8、·

9、b

10、·Sin.　　方向：右手定則：若坐標(biāo)系是滿足右手定則的，設(shè)z=x×y,z的模長=x*y*sin(x,y)則x,y,z構(gòu)成

11、右手系，伸開右手手掌，四個手指從x軸正方向方向轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正方面，則大拇指方向即為z正軸方向?！　》峙渎傻膸缀巫C明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明?！　∠旅娼o出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：　　1）外積的反對稱性：　　a×b=-b×a.　　這由外積的定義是顯然的。　　2）內(nèi)積（即數(shù)積、點積）的分配律：　　a·(b+c)=a·b+a·c,　　(a+b)·c=a·c+b·c.　　這由內(nèi)積的定義a·b=

12、a

13、·

14、b

15、·Cos，用投影的方法不難得到證明?！　?）混合積的性質(zhì)：　　定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混合積

16、，容易證明：　　i)(a×b)·c的絕對值正是以a,