粘性流體的不可壓縮流動(dòng)

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1、Chapter9-1粘性不可壓縮流體流動(dòng)§1概述一、粘性不可壓縮流動(dòng)模型１、關(guān)于粘性粘性摩擦的存在必導(dǎo)致繞流阻力的存在，運(yùn)動(dòng)的衰減及渦量的擴(kuò)散。在大數(shù)下，慣性力>>粘性力，采用理想流體模型，理想流體理論對不脫體繞流情況下的升力，壓力分布和速度分布給出了符合實(shí)際的結(jié)果，但在阻力等與粘性效應(yīng)相關(guān)的問題上卻無能為力。因而，在研究阻力等起源于粘性的現(xiàn)象時(shí)須拋棄理想流體假設(shè)。在小數(shù)和中數(shù)情況下，粘性作用不可忽略。2、關(guān)于不可壓縮流動(dòng)（流體的壓縮性對流動(dòng)的影響可略）液體壓縮系數(shù)小，一般可認(rèn)為不可壓縮（極端情況如激波等除外）。氣體在低速運(yùn)動(dòng)（速度遠(yuǎn)小于聲速）、非

2、定常時(shí)速度變化緩慢，且重力方向上流場的尺度<10km時(shí)，可略其壓縮性。（當(dāng)研究對流層（~10km）內(nèi)大氣運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能忽略重力場引起的壓縮效應(yīng)）。３、基本方程組和邊界條件均質(zhì)不可壓縮流體，且溫度變化小，，故有求速度和壓力場的完備方程組。能量方程用于求溫度場本構(gòu)方程用于求應(yīng)力邊界條件：在固壁表面上，流體的法向和切向速度分別等于固體表面的對應(yīng)速度分量。在自由表面上，。二、粘性流動(dòng)分類，求解問題的幾種途徑層流：流體運(yùn)動(dòng)規(guī)則、穩(wěn)定，各部分分層流動(dòng)互不摻混，質(zhì)點(diǎn)軌跡光滑。脈線清晰湍流：流體運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則、極不穩(wěn)定，伴有高頻擾動(dòng)，各部分激烈摻混，質(zhì)點(diǎn)軌跡雜亂無章。

3、決定流動(dòng)狀態(tài)的參數(shù)是數(shù)(Batchlorpage255)，<<2000一定是層流，此時(shí)粘性力足以保持流動(dòng)的穩(wěn)定。層流：極少有準(zhǔn)確解（某些特殊的簡單問題，非線性方程得以簡化）近似解法：大數(shù)，邊界層理論小數(shù)，部分或全部忽略慣性力。湍流：湍流理論（近似解法）三、粘性流動(dòng)的一般特征1、運(yùn)動(dòng)的有旋性14由()知N一S方程可化為粘性不可壓縮流動(dòng)方程組改寫為若則N-S方程化為Euler方程，粘性與無粘流動(dòng)的區(qū)別就僅在于固壁上的無滑移邊界條件。理想流體上述方程組在下有唯一解，此解一般不滿足無滑移條件，也就是說，粘性不可壓縮無旋流動(dòng)的解一般不存在粘性不可壓縮流動(dòng)一般

4、是有旋運(yùn)動(dòng)。特例：點(diǎn)渦引起的理想流體二維流動(dòng)在區(qū)域的解亦是的圓柱在粘性流體中勻角速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)引起的粘性流動(dòng)。２、機(jī)械能的耗損性3、渦旋的擴(kuò)散性與耗散性（北大）§9.5-9.6粘性不可壓縮流動(dòng)的一些準(zhǔn)確解一、定常的單一方向流動(dòng)1、平面Couette流動(dòng)與Poiseuille流動(dòng)兩無限大平行平板，平板間充滿均質(zhì)不可壓縮流體，間距，上板以速度沿軸方向運(yùn)動(dòng)，下板靜止，研究板間流體的定常流動(dòng)。由流動(dòng)特點(diǎn)可知：，，，，。N-S方程：。邊界條件：，。1）若沿軸方向無壓差，流動(dòng)僅由上板拖動(dòng)引起，即稱Couette流動(dòng)，此時(shí)——簡單剪切流動(dòng)。142）上板、下板均不動(dòng)

5、，，，則為Poiseuille流動(dòng)，此時(shí)。3）平板所受粘滯力（以Couette流為例）或下板受切應(yīng)力。4）拖動(dòng)單位面積上平板外力做功功率。單位體積流體機(jī)械能耗散。單位面積平板板間流體柱內(nèi)的總機(jī)械能耗散。例1求解粘性流體沿傾斜平板下瀉的流動(dòng)（考慮重力的影響，假設(shè)自由表面與平板平行）。邊界條件：，公式(2)，代入(1)并考慮到(3)知------（4）設(shè)，則，代入（4）得。再利用邊界條件得。討論：1）若上邊界處是自由表面，則由于邊界上故；14另外自由表面要求，故。2）上板速度多大時(shí)，下板上摩檫應(yīng)力為零，此時(shí)。2、截面均勻的圓管內(nèi)的粘性層流（Hagen-

6、Poiseuille流動(dòng)）無限長圓管內(nèi)壓強(qiáng)梯度力作用下的定常層流。假設(shè)外加壓差不隨時(shí)間變化，不考慮入口段流動(dòng)（粘性作用尚未達(dá)到充分，速度剖面隨離入口的距離變化）可假設(shè)管無限長。流體在壓差作用下開始流動(dòng)，當(dāng)進(jìn)入管中充分長距離后，粘性力達(dá)到與壓強(qiáng)梯度力平衡，速度剖面不再變化，取柱坐標(biāo)系如圖，，。柱坐標(biāo)系下原始方程見吳書（下冊page229），此流動(dòng)軸對稱，僅考慮N-S方程的和兩分量方程：則邊界條件：，，另外附加有，有限；故討論：①流量及平均速度,，可利用此關(guān)系通過測量流量來獲得粘性系數(shù)。注關(guān)于壓差（管長）的量綱分析解見余志豪習(xí)題解答page119。14

7、②流體層間的阻力：；軸上：；壁上：。阻力系數(shù)，其中。二、兩同軸旋轉(zhuǎn)圓柱間的定常流動(dòng)（圓形流線情形，不計(jì)重力）流體充滿兩無限長同軸圓柱之間，兩圓柱旋轉(zhuǎn)角速度分別為。求解啟動(dòng)充分長時(shí)間后的定常流動(dòng)。選取柱坐標(biāo)系，由流動(dòng)特點(diǎn)可知：，，，，，N-S方程：(1)式解釋：壓強(qiáng)梯度力提供向心力；(2)式解釋：.(2)式即一一Euler方程，設(shè)代入得，故解為。邊界條件：，；最后可得---------（3）討論：1）應(yīng)力張量分量，它代表任一流體柱殼外表面上的粘性應(yīng)力，任一單位長流體柱殼外表面受摩擦力矩，與無關(guān)，因而該柱殼內(nèi)外表面摩檫力矩平衡，故作定常運(yùn)動(dòng)。2）(3)

8、式中第一項(xiàng)表示剛性旋轉(zhuǎn)(有旋流動(dòng))，第二項(xiàng)表示無旋運(yùn)動(dòng).若（無內(nèi)柱）則表示旋轉(zhuǎn)的桶內(nèi)流體與桶一起剛性旋轉(zhuǎn)；14若無外柱殼則