線性方程組的應(yīng)用

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1、線性方程組的應(yīng)用舉例【例1】（配平化學(xué)方程式）[C.Lay]化學(xué)方程式表示化學(xué)反應(yīng)中消耗和產(chǎn)生的物質(zhì)的量。配平化學(xué)反應(yīng)方程式就是必須找出一組數(shù)使得方程式左右兩端的各類原子的總數(shù)對(duì)應(yīng)相等。一個(gè)系統(tǒng)的方法就是建立能夠描述反應(yīng)過程中每種原子數(shù)目的向量方程，然后找出該方程組的最簡的正整數(shù)解。下面我們利用此思路來配平如下化學(xué)反應(yīng)方程式其中均取正整數(shù)?！窘狻可鲜龌瘜W(xué)反應(yīng)式中包含5種不同的原子（鉀、錳、氧、硫、氫），于是在中為每一種反應(yīng)物和生成物構(gòu)成如下向量：其中，每一個(gè)向量的各個(gè)分量依次表示反應(yīng)物和生成物中鉀、錳、氧、硫、氫的原子數(shù)目。為了配平化學(xué)方程式，系

2、數(shù)必須滿足方程組求解該齊次線性方程組，得到通解由于化學(xué)方程式通常取最簡的正整數(shù)，因此在通解中取即得配平后的化學(xué)方程式：?！纠?】（營養(yǎng)食譜問題）[C.Lay]一個(gè)飲食專家計(jì)劃一份膳食，提供一定量的維生素C、鈣和鎂。其中用到3種食物，它們的質(zhì)量用適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量。這些食品提供的營養(yǎng)以及食譜需要的營養(yǎng)如下表給出表1營養(yǎng)食譜問題營養(yǎng)單位食譜所含的營養(yǎng)（毫克）需要的營養(yǎng)總量（毫克）食物1食物2食物3維生素C102020100鈣504010300鎂301040200針對(duì)這個(gè)問題寫出一個(gè)向量方程。說明方程中的變量表示什么，然后求解這個(gè)方程。【解】設(shè)分別表示這三

3、種食物的量。對(duì)每一種食物考慮一個(gè)向量，其分量依次表示每單位食物中營養(yǎng)成分維生素C、鈣和鎂的含量：食物1：，食物2：，食物3：，需求：；則分別表示三種食物提供的營養(yǎng)成分，所以，需要的向量方程為解此方程組，得到，因此食譜中應(yīng)該包含個(gè)單位的食物1，個(gè)單位的食物2，個(gè)單位的食物3?！纠?】（電路網(wǎng)絡(luò)）[C.Lay]簡單電網(wǎng)中的電流可以利用線性方程組來描述。當(dāng)電流經(jīng)過電阻（如燈泡或發(fā)電機(jī)等）時(shí)，會(huì)產(chǎn)生“電壓降”。根據(jù)歐姆定律，其中為電阻兩端的“電壓降”，為流經(jīng)電阻的電流強(qiáng)度，為電阻值，單位分別為伏特、安培和歐姆。對(duì)于電路網(wǎng)絡(luò)，任何一個(gè)閉合回路的電流服從希爾

4、霍夫電壓定律：沿某個(gè)方向環(huán)繞回路一周的所有電壓降的代數(shù)和等于沿同一方向環(huán)繞該回路一周的電源電壓的代數(shù)和。請(qǐng)利用上述兩個(gè)定律，寫出圖中回路電流所滿足的線性方程組，并求解。【解】在回路1中，電流流經(jīng)三個(gè)電阻，其電壓降為：回路2中的電流也流經(jīng)回路1的一部分，即從A到B的分支，對(duì)應(yīng)的電壓降為；同樣，回路3中的電流也流經(jīng)回路1的一部分，即從B到C的分支，對(duì)應(yīng)的電壓降為。然而，回路1中的電流在段的方向與回路2中選定的方向相反，回路1中的電流在段的方向與回路3中選定的方向相反，因此回路1所有電壓降的代數(shù)和為。由于回路1中電源電壓為，由希爾霍夫定律可得回路1的方

5、程為。同理，回路2的電路方程為；回路3的電路方程為；回路4的電路方程為；于是，回路電流所滿足的線性方程組為解得安培，安培，安培，安培，其中的電流方向均如圖所示。【例4】（經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡）[C.Lay]假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由三個(gè)行業(yè)：五金化工、能源（如燃料、電力等）、機(jī)械組成，每個(gè)行業(yè)的產(chǎn)出在各個(gè)行業(yè)中的分配見表1-1，每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例。以第二列為例，能源行業(yè)的總產(chǎn)出的分配如下：80%分配到五金化工行業(yè)，10%分配到機(jī)械行業(yè)，余下的供本行業(yè)使用。因?yàn)榭紤]了所有的產(chǎn)出，所以每一列的小數(shù)加起來必須等于1。把五金化工、能源、機(jī)械行業(yè)每年

6、總產(chǎn)出的價(jià)格（即貨幣價(jià)值）分別用表示。試求出使得每個(gè)行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價(jià)格。表1-2經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡產(chǎn)出分配購買者五金化工能源機(jī)械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2機(jī)械列昂惕夫的“交換模型”：假設(shè)一個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)分為很多行業(yè)，例如制造業(yè)、通訊業(yè)、娛樂業(yè)和服務(wù)行業(yè)等。我們知道每個(gè)部門一年的總產(chǎn)出，并準(zhǔn)確了解其產(chǎn)出如何在經(jīng)濟(jì)的其它部門之間分配或“交易”。把一個(gè)部門產(chǎn)出的總貨幣價(jià)值稱為該產(chǎn)出的價(jià)格（price）.列昂惕夫證明了如下結(jié)論：存在賦給各部門總產(chǎn)出的平衡價(jià)格，使得每個(gè)部門的投入與產(chǎn)出都相等。【解】從表1-2

7、可以看出，沿列表示每個(gè)行業(yè)的產(chǎn)出分配到何處，沿行表示每個(gè)行業(yè)所需的投入。例如，第1行說明五金化工行業(yè)購買了80%的能源產(chǎn)出、40%的機(jī)械產(chǎn)出以及20%的本行業(yè)產(chǎn)出，由于三個(gè)行業(yè)的總產(chǎn)出價(jià)格分別是，因此五金化工行業(yè)必須分別向三個(gè)行業(yè)支付元。五金化工行業(yè)的總支出為。為了使五金化工行業(yè)的收入等于它的支出，因此希望。采用類似的方法處理表1-2中第2、3行，同上式一起構(gòu)成齊次線性方程組該方程組的通解為，此即經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡價(jià)格向量，每個(gè)的非負(fù)取值都確定一個(gè)平衡價(jià)格的取值。例如，我們?nèi)?.000億元，則億元，億元。即如果五金化工行業(yè)產(chǎn)出價(jià)格為1.417億元，

8、則能源行業(yè)產(chǎn)出價(jià)格為0.917億元，機(jī)械行業(yè)的產(chǎn)出價(jià)格為1.000億元，那么每個(gè)行業(yè)的收入和支出相等?！纠?】（交通網(wǎng)絡(luò)）下圖給出了某城