資源描述：
《線性方程組的應用》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、線性方程組的應用例1已知三次曲線過4個點,試求方程的系數(shù)解將四個點的坐標分別代入三次曲線的方程，得到非齊次線性方程組這個關于的方程組的系數(shù)行列式D是Vandermonde行列式，即根據(jù)Cramer法則，它有唯一解，其中是以替代D中第j列元素所得的行列式.例2（Fibonacci數(shù)列）數(shù)列F1,F2,…,Fn,…滿足條件F1=F2=1;Fn=Fn-1+Fn-2（對所有的正整數(shù)n≥3）求這個數(shù)列的通項公式.（這個數(shù)列稱為Fibonacci數(shù)列.）解對任一固定正整數(shù)n≥3，將任一n項數(shù)列α=(a1,a2,…,an)看作復數(shù)域C上n維數(shù)組空
2、間Cn上的向量.記V為Cn中滿足遞推關系ai=ai-1+ai-2(3≤i≤n)的向量(a1,a2,…,an)的全體所組成的子集，則Fibonacci數(shù)列的前n項組成的向量φ=(F1,F2,…,Fn)含于V.易驗證V對向量的加法以及向量與復數(shù)的乘法兩種運算封閉，是Cn的子空間.并且,V中每個α=(a1,a2,…,an)由前兩項a1,a2決定,可以記為α=f(a1,a2).特別Fibonacci數(shù)列φ=f(1,1).映射f：C2→V，(a1,a2)f(a1,a2)是復線性空間之間的同構映射.由dimC2=2知道dimV=2.只要找到C2
3、的任意一組基{X1,X2},則{f(X1),f(X2)}是V的一組基.考慮V中包含哪些首項為1的n項等比數(shù)列β=（1,q,q2,…,qn-1）.βV的充分必要條件是ai=ai-1+ai-2即qi-1=qi-2+qi-3,3≤i≤n也就是q2=q+1，即q2-q-1=0，解之得q=.記q1=,q2=,則f(1,q1)，f(1,q2)是V中所有的兩個等比數(shù)列.由于q1≠q2，(1,q1)，(1,q2)組成C2的一組基，f(1,q1)，f(1,q2)組成V的一組基.我們來求Fibonacci數(shù)列φ=f(1,1)在這組基下的坐標（x,y），
4、即求x,y使f(1,1)=xf(1,q1)+yf(1,q2)=f(x+y,q1x+q2y),即，解之得從而由于，，，又.因此.一般地，對任意復數(shù)b，c，滿足條件an=ban-1+can-2(n≥3)的數(shù)列{an}組成復數(shù)域C上的線性空間V.V中每個{an}由前兩項a1，a2決定，可以記為f(a1,a2).f：C2→V是復數(shù)域C上線性空間的同構映射，因此dimV=dimC2=2.公比為q的等比數(shù)列含于.如果方程有兩個不相等的復數(shù)根q1，q2，則f(1,q1)，f(1,q2)組成V的一組基.可以采用此例題的方法，通過解方程組求出f(a1
5、,a2)在基{f(1,q1)，f(1,q2)}下的坐標(x,y)，從而求得{an}=f(a1,a2)的通項公式例3設實數(shù)a，b，c不全為0，α，β，γ為任意實數(shù)，且求證：證明已知將上式看成以（a，b，c）為未知數(shù)的齊次線性方程組.此方程組有非零解.因此系數(shù)行列式為0，即將上邊的行列式展開并整理，即得例4（物資調(diào)運問題）有三個生產(chǎn)同一產(chǎn)品的工廠，和，其年產(chǎn)量分別為40（噸），20（噸），10（噸），該產(chǎn)品每年有兩個用戶和，其用量分別為45（噸），25（噸），由各產(chǎn)地到各用戶的距離（公里）如下表所示（）.各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使運費最少
6、？455892587236為了解決這個問題，我們假設各廠調(diào)運到各戶的產(chǎn)品數(shù)量分別如下表所示那么，容易看出，三個廠的總產(chǎn)量與兩個用戶的總用量剛好相等，所以對產(chǎn)地來說產(chǎn)品應全部調(diào)出，因之有同時對用戶來說調(diào)來的產(chǎn)品剛好是所需要的，因之又有從到就是…，應滿足的一些條件.我們再來看如何刻畫運費,我們知道,在道路情況相同的情況下運費與距離成正比,因此把(噸)的貨物由運到的運費為45的倍數(shù),而把(噸)的貨物由運到的運費為58的同一倍數(shù),因此,它們的和s=45+58+92+58+72+36(6)就可以用來刻畫運費.
