線性方程組的應(yīng)用

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1、線性方程組在現(xiàn)實中的應(yīng)用線性方程組在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用非常廣泛的，不僅可以廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)，計算機(jī)科學(xué)，物理學(xué)，數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，力學(xué)，信號與信號處理，通信，航空等學(xué)科和領(lǐng)域，同時也應(yīng)用于理工類的后繼課程，如電路、理論力學(xué)、計算機(jī)圖形學(xué)、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)動力學(xué)、自動控制原理等課程。為了更好的運(yùn)用這種理論，必須在解題過程中有意識地聯(lián)系各種理論的運(yùn)用條件，并根據(jù)相應(yīng)的實際問題，通過適當(dāng)變換所知，學(xué)會選擇最有效的方法來進(jìn)行解題，通過熟練地運(yùn)用理論知識來解決數(shù)學(xué)得問題.一、線性方程組的表示1.按照線性方程

2、組的形式表示有三種1）一般形式的表示2）向量形式：3）矩陣形式的表示：特別地，當(dāng)時，稱為齊次線性方程組，而當(dāng)時，稱為非齊次線性方程組2.按照次數(shù)分類又可分為兩類1）齊次線性方程組2）非齊次線性方程組二、線性方程組的應(yīng)用1.在經(jīng)濟(jì)平衡中的應(yīng)用假設(shè)一個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由三個行業(yè)：五金化工、能源（如燃料、電力等）、機(jī)械組成，每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配見表1-1，每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比例。以第二列為例，能源行業(yè)的總產(chǎn)出的分配如下：80%分配到五金化工行業(yè)，10%分配到機(jī)械行業(yè)，余下的供本行業(yè)使用。因為考慮了所有

3、的產(chǎn)出，所以每一列的小數(shù)加起來必須等于1。把五金化工、能源、機(jī)械行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格（即貨幣價值）分別用表示。試求出使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價格。表1-2經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡產(chǎn)出分配購買者五金化工能源機(jī)械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2機(jī)械解：從表1-2可以看出，沿列表示每個行業(yè)的產(chǎn)出分配到何處，沿行表示每個行業(yè)所需的投入。例如，第1行說明五金化工行業(yè)購買了80%的能源產(chǎn)出、40%的機(jī)械產(chǎn)出以及20%的本行業(yè)產(chǎn)出，由于三個行業(yè)的總產(chǎn)出價格分別是，因此五金化工行業(yè)必須分別向三個

4、行業(yè)支付元。五金化工行業(yè)的總支出為。為了使五金化工行業(yè)的收入等于它的支出，因此希望。采用類似的方法處理表1-2中第2、3行，同上式一起構(gòu)成齊次線性方程組該方程組的通解為，此即經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的平衡價格向量，每個的非負(fù)取值都確定一個平衡價格的取值。例如，我們?nèi)?.000億元，則億元，億元。即如果五金化工行業(yè)產(chǎn)出價格為1.417億元，則能源行業(yè)產(chǎn)出價格為0.917億元，機(jī)械行業(yè)的產(chǎn)出價格為1.000億元，那么每個行業(yè)的收入和支出相等。2.在物理電路中的應(yīng)用設(shè)各節(jié)點的電流如圖所示，則由基爾霍夫第一定律（簡記為KCL）即電路中任

5、一節(jié)點處各支路電流之間的關(guān)系：在任一節(jié)點處，支路電流的代數(shù)和在任一瞬時恒為零（通常把流入節(jié)點的電流取為負(fù)的，流出節(jié)點的電流取為正的）。該定律也稱為節(jié)點電流定律），有對于節(jié)點A：對于節(jié)點B：對于節(jié)點C：對于節(jié)點D：于是求各個支路的電流就歸結(jié)為下面齊次線性方程組的求解解之，得其解為其中:由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均為正數(shù)，所以通解中的3個任意常數(shù)應(yīng)滿足以下條件：如果則：3.在減肥食譜中的應(yīng)用下表是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營養(yǎng)素的數(shù)量。營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)（g）減肥所要求的每日

6、營養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)36511333碳水化合物52347445脂肪071.13如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少才能全面準(zhǔn)確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？以100克為一個單位，為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，設(shè)每日需食用的脫脂牛奶x1個單位，大豆面粉x2個單位，乳清x3個單位，則由所給條件得解上方程組得，解為即為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，每日需食用脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。三、應(yīng)用總結(jié)線性方程組的理論應(yīng)用已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)發(fā)展的許多分支，很多實際問題的

7、處理最后往往歸結(jié)為比較容易處理的線性方程組的問題，同時線性方程組在工程技術(shù)上、空間幾何和國民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,由于數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)化普及，使線性方程組能夠更好地解決我們現(xiàn)實中的問題。