求軌跡方程的常用方法

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1、求軌跡方程的常用方法重點:掌握常用求軌跡方法難點：軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論知識梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1.待定系數(shù)法：如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。2.直譯法：如果動點P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點P的坐標（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到

2、軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點坐標x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相關(guān)點法）：如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點P'的坐標，然后把P'的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡方程。5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性

3、質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點的坐標較簡單。6：交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復雜的運動變化中，發(fā)現(xiàn)動點P的運動規(guī)律，即P點滿足的等量關(guān)系，因此要學會動中求靜，變中求不變。來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需

4、將參數(shù)方程化為普通方程。3.求出軌跡方程后，應注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，（即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解。（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補充。檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。方法一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有

5、關(guān)的軌跡問題時，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要動點滿足已知曲線定義時，通過待定系數(shù)法12就可以直接得出方程。例1：已知的頂點A，B的坐標分別為（-4，0），（4，0），C為動點，且滿足求點C的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點）?！军c評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1）圓：到定點的距離等于定長（2）橢圓：到兩定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離）（3）雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點

6、的距離）（4）到定點與定直線距離相等。【變式】1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。?！鄤訄A圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支【解答】令動圓半徑為R，則有，則

7、MO

8、-

9、MC

10、=2，滿足雙曲線定義。故選D。3.中，B，C坐標分別為（-3，0），（3，0），

11、且三角形周長為16，求點A的軌跡方程。由題意可知，

12、AB

13、+

14、AC

15、=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為12,ABC為三角形，故A，B，C不能三點共線。軌跡方程里應除去點，即軌跡方程為方法二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2：一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求AB中點P的軌跡方程？解設(shè)M點的坐標為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成

16、功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標系，需選定適當位置的坐標系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點坐標，并作相應的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)