求軌跡方程的常用方法

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1、求軌跡方程的常用方法重點(diǎn):掌握常用求軌跡方法難點(diǎn)：軌跡的定型及其純粹性和完備性的討論知識(shí)梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1.待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱(chēng)為定義法。2.直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到

2、軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性

3、質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。6：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這燈問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項(xiàng)：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。來(lái)表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需

4、將參數(shù)方程化為普通方程。3.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。方法一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有

5、關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí)，通過(guò)待定系數(shù)法12就可以直接得出方程。例1：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）?！军c(diǎn)評(píng)】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1）圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（2）橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3）雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)

6、的距離）（4）到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪健?:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。?！鄤?dòng)圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動(dòng)圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則

7、MO

8、-

9、MC

10、=2，滿足雙曲線定義。故選D。3.中，B，C坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），

11、且三角形周長(zhǎng)為16，求點(diǎn)A的軌跡方程。由題意可知，

12、AB

13、+

14、AC

15、=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為12,ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)，即軌跡方程為方法二：用直譯法求曲線軌跡方程此類(lèi)問(wèn)題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2：一條線段AB的長(zhǎng)等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？解設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點(diǎn)評(píng)】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成

16、功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無(wú)坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)