隨機(jī)過程及其應(yīng)用

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1、§4.5隨機(jī)過程的功率譜密度當(dāng)我們?cè)跁r(shí)間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時(shí)，如果確定起來不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進(jìn)行研究，最終目的是使問題簡(jiǎn)化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時(shí)間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進(jìn)而使問題簡(jiǎn)化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個(gè)信號(hào)有“高”頻成分，我們?cè)陬l率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號(hào)分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。是不是任何一個(gè)時(shí)間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時(shí)間函數(shù)滿足絕對(duì)可積條件時(shí)可以

2、。然而，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，即,一般不滿足絕對(duì)條件，因此隨機(jī)過程不能直接進(jìn)行傅氏變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。這樣，若想直接對(duì)隨要過程進(jìn)行譜分解，顯然也不行。但是，對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行某種處理后，同樣可對(duì)隨機(jī)過程施行傅里葉變換?！?.5.1功率譜密度w為了研究隨機(jī)信號(hào)的傅氏變換，我們首先簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下確定信號(hào)S(t)的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機(jī)過程的功率譜密度概念。w定理設(shè)S(t)是一個(gè)確定信號(hào)且時(shí)間在上滿足絕對(duì)可積條件，則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜對(duì)于定理的物理解釋是，S(t)

3、代表電流或電壓，則定理?xiàng)l件要求，即是要求S(t)的總能量必須有限。由積分變換的巴塞伐公式即：下面我們來解釋一下公式的物理含義：若把S(t)看作是通過1Ω電阻上的電流或電壓，則左邊的積分表示消耗在1Ω電阻上的總能量，故右邊的被積函數(shù)相應(yīng)地稱為能譜密度。然而，工程技術(shù)上有許多重要的時(shí)間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對(duì)可積條件，如正弦或余弦函數(shù)就是。我們要研究的隨機(jī)過程，由于持續(xù)時(shí)間是無限的，所以其總能量往往也是無限的，所以隨機(jī)過程的頻譜不存在。那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行研究呢？我們是這樣考慮的，一個(gè)隨機(jī)過程

4、，盡管它的樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即：這是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)在時(shí)間域上的平均功率表示。這樣，對(duì)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率的傅氏變換卻有意義。怎樣具體表示隨機(jī)過程一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)，不妨設(shè)為x(t)，再將本函數(shù)x(t)任意截取一段，長(zhǎng)度為2T，并記為。稱為原樣本函數(shù)x(t)的截取函數(shù)，如右圖所示。用公式表示即為于是滿足絕對(duì)可積條件?！啻嬖诟妒献儞Q，即這里稱為的頻譜函數(shù)。又由于隨機(jī)過程在隨機(jī)試驗(yàn)中取哪一個(gè)樣本函

5、數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗(yàn)結(jié)果，就意味著隨機(jī)過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進(jìn)一步表示為，當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又∵由于引入隨機(jī)過程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機(jī)過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱上式為隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。定義樣本函數(shù)的功率譜密度:式中，為截取函數(shù)的頻譜。又∵隨機(jī)過程是由一族樣本函數(shù)組成，即顯然對(duì)每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都可以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功

6、率譜密度，于是對(duì)所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過程的功率譜密度定義。定義隨機(jī)過程的功率譜密度：同樣定義定義：X(t)為均方連續(xù)隨機(jī)過程，稱為X(t)的平均功率；稱為X(t)的功率譜密度，簡(jiǎn)稱譜密度。根據(jù)帕塞伐公式及傅氏反變換，有所以：求隨機(jī)過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出，即過程的功率譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的均方值，再積分。特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時(shí)，此時(shí)的平穩(wěn)過程平均功率可表示為：∵X(t)平穩(wěn)∴例題隨機(jī)過程式中，是常數(shù)，上均勻分布隨機(jī)變量，求X（t）的平均功率。解：∵又∵顯

7、然該過程不平穩(wěn)?！?.5.2功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系通過對(duì)隨機(jī)過程的分析，我們知道隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)是從時(shí)間角度度描述了過程的重要統(tǒng)計(jì)特性，而隨機(jī)過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統(tǒng)計(jì)特性，二者是異曲同工，研究的都是同一個(gè)對(duì)象，于是人們自然提出一個(gè)問題，隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是否存在一定關(guān)系?我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)隨機(jī)過程平穩(wěn)且滿足一定條件時(shí)，它們之間存在一定關(guān)系。定理如果平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，即則過程X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即例題設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)，其中是正

8、數(shù)，X(t)的功率譜密度。答案：§4.5.3功率譜密度性質(zhì)由隨機(jī)過程的功率譜密度定義，即可得如下幾個(gè)常用的性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)2是實(shí)函數(shù);性質(zhì)3對(duì)于實(shí)過程，是偶函數(shù);§4.5.4互譜密度1.互譜密度的定義類似于一個(gè)隨機(jī)過程功率譜密度的研究方法，我們可以引入兩個(gè)隨機(jī)過程的互譜密度概