資源描述：
《數(shù)學競賽教案講義(15)——復數(shù)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、第十五章復數(shù)一、基礎知識1．復數(shù)的定義：設i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可以用點來表示
2、，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設z對應復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設∠xOZ=θ,
3、OZ
4、=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作
5、z
6、，由勾
7、股定理知
8、z
9、=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
10、
11、z1
12、-
13、z2
14、
15、≤
16、z1±z2
17、≤
18、z1
19、+
20、z2
21、；（8）
22、z1+z2
23、2+
24、z1-z2
25、2=2
26、z1
27、2+2
28、z2
29、2；（9）若
30、z
31、=1，則。4．復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和
32、三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2otherstaffoftheCentre.Duringthewar,ZhuwastransferredbacktoJiangxi,andDirectorofthenewOfficeinJingdezhen,JiangxiCommitteeSecretary.Startingin1939servedasrecorderoft
33、heWestNorthOrganization,SecretaryoftheSpecialCommitteeAfterthevictoryofthelongMarch,hehasbeentheNorthwestOfficeoftheFederationofStateenterprisesMinister,ShenmufuguSARmissions,DirectorofNingxiaCountypartyCommitteeSecretaryandrecorderoftheCountypartyCommitteeSecretary,Ministersand
34、)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數(shù)m，當n≥2時，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+
35、1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數(shù)的模和輻角主值分別相等。9．復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。11．實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。12．若a,b,c∈R,a≠0，則關于x的方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時方程的根為二、方
36、法與例題1．模的應用。例1求證：當n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根
