數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義(15)——復(fù)數(shù)

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1、第十五章復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來表示。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來表示，表示復(fù)數(shù)的平面

2、稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,

3、OZ

4、=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作

5、z

6、，由勾股定理知

7、z

8、=.如果用eiθ表

9、示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）

10、

11、z1

12、-

13、z2

14、

15、≤

16、z1±z2

17、≤

18、z1

19、+

20、z2

21、；（8）

22、z1+z2

23、2+

24、z1-z2

25、2=2

26、z1

27、2+2

28、z2

29、2；（9）若

30、z

31、=1，則。4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(co

32、sθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，

33、若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).8.復(fù)數(shù)相等的充要條件：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠

34、0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)方程的根為二、方法與例題1．模的應(yīng)用。例1求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切

35、z

36、=1，有

37、f(z)

38、=1，求a,b的值。2.復(fù)數(shù)相等。例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條件。3．三角形式的應(yīng)用。例4設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那

39、么這樣的n有多少個(gè)？4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例5計(jì)算：（1）；（2）5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。例6以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。例7設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。6．復(fù)數(shù)與軌跡。例8ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且

40、BC

41、=2，求ΔABC的外心軌跡。7．復(fù)數(shù)與三角。例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=