高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義——復(fù)數(shù)

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1、高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義復(fù)數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)1．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，或記為z1z2=r1r2；2．棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).3．開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n-1。4．方程記為：稱為1的次單位根。由棣莫弗定理，全部次單位根可表示為。關(guān)于單位根，有如下常用性質(zhì)：；任意兩個(gè)單位根的乘積仍為一個(gè)次單位

2、根，且（1）；（2）設(shè)為整數(shù)，，則（3）1+z1+z2+…+zn-1=0；（4）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-z1)(x-z2)…(x-zn-1)=(x-z1)(x-)…(x-).特別地：1的立方根有：1，ω＝－＋i，＝－－i（1）ω3＝3＝1（2）1＋ω＋ω2＝0或1＋＋2＝0（3）ω＝1（4）ω2＝，2＝ω第13頁(yè)共13頁(yè)（5）(1±i)2＝±2i，(3±4i)2＝－7±24i5．代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。6．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則=a-bi也是一個(gè)根。7．

3、若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)方程的根為二、基本方法1．三角形式的應(yīng)用。例1．設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？[解]由題設(shè)得，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。2．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。例2．計(jì)算：（1）；（2）[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100==)+()i，比較實(shí)部和虛部，得=-250，=0。5．設(shè)n=2001，則.3．復(fù)數(shù)乘法

4、的幾何意義。例3．以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。[證明]設(shè)

5、BC

6、=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=,為定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。第13頁(yè)共13頁(yè)例4．設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。[證明]

7、用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)?/p>

8、A-B

9、?

10、C-D

11、+

12、B-C

13、?

14、A-D

15、≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以

16、A-B

17、?

18、C-D

19、+

20、B-C

21、?

22、A-D

23、≥

24、A-C

25、?

26、B-D

27、,“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)，即=π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。4．復(fù)數(shù)與軌跡。例5．復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，為定點(diǎn)，；另一動(dòng)點(diǎn)Z滿足，求點(diǎn)Z的軌跡，并指明它在復(fù)平面上的形狀和位置。（高中聯(lián)賽，1988）yxZ（x，y）rO圖4.5.1解：由知，所以，代入得。變形為，表示Z是以為中心，為半徑的圓周，

28、但應(yīng)除去原點(diǎn)。例6．ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且

29、BC

30、=2，求ΔABC的外心軌跡。[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為

31、z-b

32、=

33、z-3i

34、，BC的垂直平分線的方程為

35、z-b

36、=

37、z-b-2

38、，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足

39、z-b

40、=

41、z-3i

42、=

43、z-b-2

44、，消去b解得所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。第13頁(yè)共13頁(yè)例7：設(shè)m、n為非零實(shí)數(shù)，i為虛單位，C，則方程①與②如圖，在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形（F1、F2是焦點(diǎn)）是（）【思路分析】

45、可根據(jù)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義；也可根據(jù)m、n的取值討論進(jìn)行求解.【略解】由復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡的定義，得方程①在復(fù)平面上表示以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，.這表明，至少有一焦點(diǎn)在下半虛軸上，可見（A）不真.又由方程①，橢圓的長(zhǎng)軸之長(zhǎng)為n，∴

46、F1F2

47、

48、OF1

49、=n，可見（C）不真.又因橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，必有橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，即故在圖（B）與（D）中，均有F1:－ni，F(xiàn)2:mi，且.由方程②，雙曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足，到F2點(diǎn)的距離小于該點(diǎn)到F1點(diǎn)的距離.答案：（B）【別解】仿上得n>0