用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值

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1、用待定系數(shù)法求三角函數(shù)最值武增明用均值不等式求三角函數(shù)最值時(shí)，“各數(shù)相等”及“和（或積）為定值”是兩個(gè)需要刻意湊出的條件，從何處入手，怎樣拆項(xiàng)，如何湊出定值且使等號(hào)成立，又能使解答過程簡(jiǎn)捷明快，這確實(shí)既“活”又“巧”，對(duì)此問題，現(xiàn)利用待定系數(shù)法探析。例1.設(shè)x∈（0，π），求函數(shù)的最小值。分析：拿到此題，很容易想到下面的解法。因?yàn)閟inx＞0，所以。故ymin=2。顯然，這種解法是錯(cuò)誤的！錯(cuò)誤的原因是沒有考慮“=”號(hào)成立的條件。由得sinx=2，這樣的x不存在，故為錯(cuò)解。事實(shí)上，此題是可以用均值不等式來解答的，但需要拆項(xiàng)，如何拆，既能使其積為定值，又能使“=”號(hào)成立，這確實(shí)是一個(gè)難點(diǎn)

2、，筆者認(rèn)為，待定系數(shù)法就能很好地解決這個(gè)問題，為此，先引入一個(gè)待定系數(shù)λ（0＜λ＜2，使。由均值不等式及正弦函數(shù)的有界性，得。當(dāng)且僅當(dāng)且sinx=1，即λ=時(shí)，上式等號(hào)成立。將λ=代入，得ymin=。另解：y=。令sinx=t(0＜t≤1＝，易證在（0，1]上單調(diào)遞減，所以。例2.當(dāng)x∈(0，)時(shí)，求函數(shù)的最小值。分析：因?yàn)閤∈(0，)，所以sinx＞0，cosx＞0，引入大于零的待定系數(shù)k，則函數(shù)第3頁（共3頁）--------------------------------------------------------------------------------------

3、-------------------------------------------------可變形為+kcos2x－k≥3+－k=12，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)成立。由sin2x+cos2x=1,。得，即k2=64，又k＞0，所以k=8。故函數(shù)y的最小值為，此時(shí)x=。例3.設(shè)x∈(0，)，求函數(shù)y=sinx+的最小值。分析：因?yàn)閤∈(0，)，所以sinx＞0，y=sinx+可變形為。由均值不等式得。但，故上式不能取等號(hào)。下面引入待定系數(shù)k進(jìn)行配湊解之。解：因?yàn)閤∈(0，)，所以sinx＞0。因?yàn)楣省?，等?hào)當(dāng)且僅當(dāng)且sinx=1，即k=時(shí)等號(hào)同時(shí)成立。從而，故函數(shù)y=sinx+的最小

4、值為2。例4.求函數(shù)y=sin2x·cos2x+的最小值。分析：易得，由均值不等式得。第3頁（共3頁）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------但，故上式不能取等號(hào)。于是引入待定正實(shí)數(shù)λ，μ，且λ+μ=4，則有=≥≥。當(dāng)且僅當(dāng)且sin22x=1時(shí)等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，所以當(dāng)sin22x=1時(shí)，y有最小值為。第3頁（共3頁）--------------------

5、-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------