解排列組合問題的策略

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1、解排列組合問題的策略　　要正確解答排列組合問題，第一要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題還是組合問題、還是排列與組合混合問題；第二要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?，做到不重不漏；第三要?jì)算正確．下面將通過對若干例題的分析，探討解答排列組合問題的一些常見策略，供大家參考．　　一、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略　　對于帶有特殊元素的排列問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素、特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，也就是解題過程中的一種主元思想．　　例1：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（?。　．24個(gè)　　B．30

2、個(gè)　　C．40個(gè)　　D．60個(gè)　　解：因組成的三位數(shù)為偶數(shù)，末尾的數(shù)字必須是偶數(shù)，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，應(yīng)優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分為兩類：①當(dāng)0排在末尾時(shí)，有個(gè)；②當(dāng)0不排在末尾時(shí)，三位偶數(shù)有個(gè)，據(jù)加法原理，其中偶數(shù)共有+＝30個(gè)，選B．　　若含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的特殊位置或特殊元素，則應(yīng)使用集合的思想來考慮．這里僅舉以下幾例．　　(1)無關(guān)型(兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集)　　例2：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?　　解：由題意可知，兩個(gè)特殊位置在首位和末位，特殊元素

3、是“0，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{0}，A∩B＝．如圖1所示．　　末位上有種排法，首位上有種不同排法，其余位置有種不同排法．所以，組成的符合題意的六位數(shù)是＝120(個(gè))．　　說明：這個(gè)類型的題目，兩個(gè)特殊位置上所取的元素是無關(guān)的．先分別求出兩個(gè)特殊位置上的排列數(shù)(不需考慮順序)，再求出其余位置上的排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題即可得到解決．　　(2)包合型(兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系)　　例3：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)?　　解：由題意可知，首位、末位是

4、兩個(gè)特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A＝{1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B＝{5}，BA，用圖2表示?！　∧┪簧现荒苋?，有種取法，首位上雖然有五個(gè)元素可取但元素5已經(jīng)排在末位了，故只有種不同取法，其余四個(gè)位置上有種不同排法，所以組成的符合題意的六位數(shù)有＝96(個(gè))．　　說明：這個(gè)類型的題目，兩個(gè)特殊位置上所取的元素組成的集合具有包含關(guān)系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列數(shù)，再求另一個(gè)位置上的排列數(shù)，次求其它位置上排列數(shù)，最后利用乘法原理，問題就可解決．　　(3)影響型(兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的．這類題型在高考

5、中比較常見．)　　例4：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?　　解：由題意可知，首位和百位是兩個(gè)特殊位置，“3”是特殊元素．首位上可取元素的集合A＝{2，3，4，5}，百位上可取元素的集合B＝{1，2，4，5}．用圖3表示．　　從圖中可以看出，影響型可分成無關(guān)型和包含型．①首先考慮首位是3的五位數(shù)共有：個(gè)；②再考慮首位上不是3的五位數(shù)，由于要比20000大，∴首位上應(yīng)該是2、4、5中的任一個(gè)，種選擇；其次3應(yīng)排在千位、十位與個(gè)位三個(gè)位置中的某一個(gè)上，種選擇，最后還有三個(gè)數(shù)、三個(gè)位置，有種排法，于是首

6、位上不是3的大于20000的五位數(shù)共有個(gè)．　　綜上①②，知滿足題設(shè)條件的五位數(shù)共有：+＝78個(gè)．　　二、解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略　　解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連貫過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分步層次清楚，不重不漏．　　例5：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個(gè)．　　簡析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有種取法．這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共

7、有·＝60個(gè)．　　例6：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少?　　解：依題意，共線的三點(diǎn)組可分為三類：兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有＝28(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組共有＝3(個(gè))；兩端點(diǎn)皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有＝18(個(gè))．　　所以總共有28+3+18＝49個(gè)．　　例7：某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品均可區(qū)分)．每次取一只測試，直到4只次品全部測出為止．求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種?　　解：先考慮第五次測試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測試中包含其余的3只次品和1