泛函分析預(yù)備知識(shí)new

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1、2.預(yù)備知識(shí)在這一節(jié)，作為預(yù)備知識(shí),我們介紹Banach空間，線(xiàn)性算子和線(xiàn)性算子譜等概念.2.1Banach空間首先引進(jìn)線(xiàn)性空間和賦范線(xiàn)性空間的定義．定義2.1.1設(shè)是一個(gè)集合，其中規(guī)定了兩種運(yùn)算（“加法”與數(shù)乘），使得(1)關(guān)于加法構(gòu)成交換群：，存在，稱(chēng)為與之和，記為,滿(mǎn)足，①,②,③存在，使得,④對(duì)于每個(gè)存在使得.記,稱(chēng)是的負(fù)元,(2)數(shù)乘運(yùn)算可行：,存在,稱(chēng)為與的積，記為,滿(mǎn)足,①,②,③,則稱(chēng)是線(xiàn)性空間.定義2.1.2設(shè)是線(xiàn)性空間，若映射滿(mǎn)足(1),(2),(3),(4)時(shí),則稱(chēng)是上的范數(shù)，此時(shí)記,稱(chēng)是線(xiàn)性賦范空間.我們?yōu)榱艘?/p>

2、進(jìn)Banach空間的定義，我們先引進(jìn)完備的賦范線(xiàn)性空間的定義．定義2.1.3設(shè)是賦范線(xiàn)性空間，是中的一個(gè)點(diǎn)列,若，則稱(chēng)是點(diǎn)列.定義2.1.4若中的每個(gè)點(diǎn)列都是收斂的，即,使得,則稱(chēng)是完備的.定義2.1.5完備的線(xiàn)性賦范空間稱(chēng)為空間.下面我們舉一個(gè)空間的例子.例2.1.1是空間.證明：首先，證明空間按范數(shù)=，成為一個(gè)賦范線(xiàn)性空間．顯然，對(duì)，有且當(dāng)且僅當(dāng).對(duì)(常數(shù))，有=；對(duì)，,有,由賦范線(xiàn)性空間定義可知，按范數(shù)=，成為一個(gè)賦范線(xiàn)性空間．其次，我們證明空間是完備的.設(shè)是中任意一個(gè)Cauchy點(diǎn)列,其中,，則由Cauchy點(diǎn)列定義,,，有，

3、（2.1.1）于是，對(duì)于以及，有.根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則有顯然,.在（2.1.1）式中令，則得是按范數(shù)收斂于，即是完備的．因此，按范數(shù)=成為一個(gè)Banach空間．2.2線(xiàn)性算子在這一段，我們介紹線(xiàn)性算子的定義．定義2.2.1設(shè)是兩個(gè)非空集合，是一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則，它使每個(gè),對(duì)應(yīng)惟一的元素，記為,則稱(chēng)是到的一個(gè)映射，記作或.叫做映射的定義域，記為稱(chēng)為映射的定義域.定義2.2.2設(shè)，都是賦范線(xiàn)性空間，是映射，若,,稱(chēng)是線(xiàn)性算子.下面我們舉一個(gè)線(xiàn)性算子的例子．例2.2.1設(shè).對(duì)于每個(gè)階矩陣,定義使得×.(2.2.1)容易驗(yàn)證是線(xiàn)性算子.若用矩陣

4、表示，式（2.2.1）即.證明：設(shè)，下面驗(yàn)證是線(xiàn)性算子.因,.故，所以是線(xiàn)性算子.定義2.2.3設(shè)，都是線(xiàn)性賦范空間，，分別是與的共軛空間，.若線(xiàn)性算子滿(mǎn)足則稱(chēng)是的共軛算子.例2.2.2設(shè)是有界線(xiàn)性算子，是的一組基.令則是閉子空間，．由延拓定理，存在．必要時(shí)乘上一個(gè)不為0的常數(shù)，可設(shè)，對(duì)于其余的，，即滿(mǎn)足稱(chēng)是的對(duì)偶基.類(lèi)似地，若是的一組基，則存在是的對(duì)偶基.現(xiàn)在設(shè)在基底與之下相應(yīng)的矩陣，即.若是的共軛算子，與對(duì)應(yīng)的矩陣是，即，則根據(jù)共軛算子的定義，應(yīng)有實(shí)際計(jì)算可知，.所以.這說(shuō)明是的轉(zhuǎn)置矩陣.換句話(huà)說(shuō)，從有限維空間到有限維空間的線(xiàn)性算

5、子，其共軛算子相應(yīng)的矩陣是原算子相應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.2.3線(xiàn)性算子的譜在這一段，我們介紹線(xiàn)性算子譜的定義.定義2.3.1稱(chēng)是正則算子，若是到上的一一的，并且是有界算子.定義2.3.2設(shè)是復(fù)的賦范線(xiàn)性空間，是線(xiàn)性算子，(1)若是正則算子，則稱(chēng)是的正則點(diǎn).(2)若不是正則算子，則稱(chēng)是的譜點(diǎn).的正則點(diǎn)的全體記為，稱(chēng)是的譜集.(3)特別地，若不是可逆的（即不是一一的），即方程有非零解，則稱(chēng)為的特征值，的特征值的全體記為.(4)若是可逆,但不是到上的，而值空間在中稠密，則稱(chēng)為的連續(xù)譜，連續(xù)譜的全體記為.(5)若是可逆，而值空間不在中稠密，則稱(chēng)為

6、的剩余譜，其全體記為.定義2.3.3若為的特征值，則對(duì)應(yīng)的特征向量張成空間的維數(shù)稱(chēng)為的幾何重?cái)?shù).