yang泛函分析new

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1、不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用摘要：不動(dòng)點(diǎn)定理是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中的重大課題，其影響遍及整個(gè)數(shù)學(xué)界。此定理涉及數(shù)學(xué)分析、拓?fù)鋵W(xué)、非線性分析等多種問(wèn)題，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，可以解決數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的許多問(wèn)題，簡(jiǎn)單、方便、實(shí)用。本論文以介紹布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理為主線，詳細(xì)研究迭代法的思想，簡(jiǎn)介不動(dòng)點(diǎn)定理的起源和基本內(nèi)容，考慮了連續(xù)函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，最后研究了不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)列極限中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：不動(dòng)點(diǎn)定理、迭代法、函數(shù)、數(shù)列極限不動(dòng)點(diǎn)定理的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破，它涉及諸多數(shù)學(xué)分支，其應(yīng)用十分廣泛，相關(guān)領(lǐng)域的研究至今仍呈現(xiàn)勃勃生機(jī)。數(shù)學(xué)

2、中的許多重要的定理，如隱函數(shù)定理、微分方程解的存在性定理等，都可以用不動(dòng)點(diǎn)定理給出簡(jiǎn)潔的證明。本論文簡(jiǎn)單粗淺地介紹了對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理的認(rèn)識(shí)、理解，以及它的應(yīng)用。一、不動(dòng)點(diǎn)理論的起源定義1函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在，使得，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。古老的代數(shù)方程求根，可以轉(zhuǎn)化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)是多項(xiàng)式，令，那么解方程等于解。若滿足，即是關(guān)于的不動(dòng)點(diǎn)，那么正是方程的根。一般地，考慮上定義的連續(xù)函數(shù)，那么的不動(dòng)點(diǎn)也是的根，這時(shí)若取定，作迭代：如果收斂，，那么由于也是連續(xù)函數(shù)，將有，于是我們得到。是的不動(dòng)點(diǎn)，于是成為的根。這種用迭代法求不動(dòng)點(diǎn)的思想，當(dāng)然

3、早就有了，它并非20世紀(jì)的產(chǎn)物。真正引人注目的不動(dòng)點(diǎn)理論起源于荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾的工作。這位直覺(jué)主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的創(chuàng)始人也是一位拓?fù)鋵W(xué)家，1909年開(kāi)始，他以《曲面上一對(duì)一的映為自身的連續(xù)映射》為題發(fā)表了一系列論文，創(chuàng)立了不動(dòng)點(diǎn)理論。現(xiàn)在以他的名字命名的布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是：定理1平面內(nèi)閉單位圓盤上映為自身的任何連續(xù)映射，至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。用初等數(shù)學(xué)可以這么理解：連續(xù)映射的定義域包含值域，則至少存在一個(gè)使得。這個(gè)定理驚動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界，它的假設(shè)甚少：任何閉單位圓盤上的映入自身的連續(xù)映射都行，可是結(jié)論十分明確、豐富：至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。二

4、、不動(dòng)點(diǎn)定理設(shè)（X,d）是完備距離空間，T是X倒X中的映射，如果存在自然數(shù)n0，使得對(duì)所有x，y∈X，d（Tn0x,Tn0y）≤θd（x，y），其中，0≤θ〈１，則T有惟一的不動(dòng)點(diǎn).證由題設(shè)Tn0滿足（壓縮映射原理）的條件，于是由該定理，Tn0有惟一的不動(dòng)點(diǎn)x0，所以只需證明x0是T的惟一不動(dòng)點(diǎn).由于TN0（Tx0）=T（Tn0x0）=Tx0，Tx0也是Tn0的不動(dòng)點(diǎn)，但是Tn0的不動(dòng)點(diǎn)是惟一的，所以Tx0=x0即x0是T的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)x01也是T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則Tn0x01=Tn0-1x01=…=x01，即x01也是Tn0的不動(dòng)

5、點(diǎn).由于Tn0的不動(dòng)點(diǎn)是惟一的，所以x01=x01連續(xù)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)定理2設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，且滿足，則必存在，使。　證明作函數(shù)。如或，則或即為定理要求的，定理已成立(此時(shí)將有或)。由條件知，。故只需再在和的情形下證明定理。由于是連續(xù)函數(shù)，故也是連續(xù)函數(shù)。因此當(dāng)由出發(fā)變到時(shí)，將從正值連續(xù)地變到負(fù)值，所以必至少有一點(diǎn)，使這正是?，F(xiàn)在我們對(duì)這一定理作些說(shuō)明：（1）一個(gè)將某集映到自身中的映射稱為自映射，定理中的是集合上的自映射。（2）設(shè)是上的映射，且值域，若，且，則稱為在中的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。（3）不動(dòng)點(diǎn)不必唯一，如下圖1、2中就分別畫出

6、了三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。圖1圖2（4）并非所有函數(shù)都存在不動(dòng)點(diǎn)。在上連續(xù)的函數(shù)，或者值域包含，或者值域含在中，均存在不動(dòng)點(diǎn)，而其它情形則不一定有不動(dòng)點(diǎn)。（參見(jiàn)下圖3、4、5）圖3的值域包含，圖4的值域含于之中，有一不動(dòng)點(diǎn)c。有一不動(dòng)點(diǎn)。圖5的值域既不含于，也不包含，沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。2單調(diào)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)定理3設(shè)是在上有定義的單調(diào)不減函數(shù)，其值域含在之中，則在至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。證明讓我們考察集合,由于的值域含在中，故,這說(shuō)明非空，記為集的上確界，顯然。下面證是的不動(dòng)點(diǎn)，即。先證。任取，即。因?yàn)?，單調(diào)不減，故，于是，（對(duì)任何均成立），這表明是的一個(gè)上

7、界，是的上確界，所以。再證，由于的值域含于中，故,再由及的單調(diào)不減性，可得，從而。前已證，根據(jù)的單調(diào)不減性可知，,這表明，但是的上確界，故。綜上，可知是的不動(dòng)點(diǎn)。由證明可知還是的最大點(diǎn)，如令，記是的下確界，同理可證是的最小不動(dòng)點(diǎn)。注意，上述定理中單調(diào)不減的條件不能換成單調(diào)不增。例如，上的函數(shù)是單調(diào)不增，它沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，從下圖6可看出它和沒(méi)有交點(diǎn)。圖63函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論關(guān)于函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)有如下幾個(gè)結(jié)論:（1）函數(shù)如有不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)必為函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)。（2）函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn)且有反函數(shù)，則反函數(shù)與函數(shù)有相同的不動(dòng)點(diǎn)。（3）奇函數(shù)

8、如有不動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)也是它的不動(dòng)點(diǎn)。（4）函數(shù),,,有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)的充分必要條件是,。證明設(shè)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),是它的另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則，整理得①由題意，方程①有兩個(gè)根，絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，故，，所以，且。（5）若定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)存在(有限)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，