泛函分析答案new

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1、泛函分析題1_3列緊集20070501泛函分析題1_3列緊集p191.3.1在完備的度量空間中，求證：為了子集A是列緊的，其充分必要條件是對"e>0，存在A的列緊的e網(wǎng)．證明：(1)若子集A是列緊的，由Hausdorff定理，"e>0，存在A的有限e網(wǎng)N．而有限集是列緊的，故存在A的列緊的e網(wǎng)N．(2)若"e>0，存在A的列緊的e/2網(wǎng)B．因B列緊，由Hausdorff定理，存在B的有限e/2網(wǎng)C．因CíBíA，故C為A的有限e網(wǎng)．因空間是完備的，再用Hausdorff定理，知A是列緊的．1.3.2在度量空間中，求證：緊集上的連續(xù)函數(shù)必是有界的，并且能達(dá)

2、到它的上、下確界．證明：設(shè)(X,r)是度量空間，D是緊子集，f:D?R是連續(xù)函數(shù)．(1)若f無上界，則"n?N+，存在xn?D，使得f(xn)>1/n．因D是緊集，故D是自列緊的．所以{xn}存在收斂子列xn(k)?x0?D(k?￥)．由f的連續(xù)性，f(xn(k))?f(x0)(k?￥)．但由f(xn)>1/n知f(xn)?+￥　(n?￥)，所以f(xn(k))?+￥(k?￥)，矛盾．故f有上界．同理，故f有下界．(2)設(shè)M=supx?Df(x)，則"n?N+，存在yn?D，使得f(yn)>M-1/n．{yn}存在子列yn(k)?y0?D(k?￥)．因此

3、f(y0)3M．而根據(jù)M的定義，又有f(y0)￡M．所以f(y0)=M．因此f能達(dá)到它的上確界．同理，f能達(dá)到它的下確界．1.3.3在度量空間中，求證：完全有界的集合是有界的，并通過考慮l2的子集E={ek}k31，其中ek={0,0,...,1,0,...}(只是第k個坐標(biāo)為1，其余都是0)，來說明一個集合可以是有界的但不完全有界的．證明：(1)若A是度量空間(X,r)中的完全有界集．則存在A的有限1-網(wǎng)N={x0,x1,x2,...,xn}．令R=?1￡j￡nr(x0,xj)+1．則"x?A，存在某個j使得0￡j￡n，且r(x,xj)<1．因此，r(

4、x,x0)￡r(x,xj)+r(xj,x0)￡1+?1￡j￡nr(x0,xj)=R．所以A是度量空間(X,r)中的有界集．(2)注意到r(ek,ej)=21/2("k1j)，故E中任意點(diǎn)列都不是Cauchy列．所以，E中任意點(diǎn)列都沒有收斂子列(否則，該收斂子列就是Cauchy42泛函分析題1_3列緊集20070501列，矛盾)．因此，E不是列緊集．由l2是完備的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集．但E顯然是有界集．1.3.4設(shè)(X,r)是度量空間，F(xiàn)1,F2是它的兩個緊子集，求證：$xi?Fi(i=1,2)，使得r(F1,F2)=r(x1,x

5、2)．其中r(F1,F2)=inf{r(x,y)

6、x?F1,y?F2}證明：由r(F1,F2)的定義，"n?N+，$xi(n)?Fi(i=1,2)，使得r(x1(n),x2(n))

7、f?M}是列緊集．證明：設(shè)A={F(x)=ò[a,x]f(t)dt

8、f?M}．由M有界，故

9、存在K>0，使得"f?M，r(f,0)￡K．先證明A是一致有界的和等度連續(xù)的．"F?A，存在f?M，使得F(x)=ò[a,x]f(t)dt．由于r(F,0)=maxx?[a,b]

10、F(x)

11、=maxx?[a,b]

12、ò[a,x]f(t)dt

13、￡maxx?[a,b]

14、f(t)

15、·(b-a)=r(f,0)·(b-a)￡K(b-a)．故A是一致有界的．"e>0，"s,t?[a,b]，當(dāng)

16、s-t

17、

18、F(s)-F(t)

19、=

20、ò[s,t]f(u)du

21、￡maxu?[a,b]

22、f(u)

23、·

24、s-t

25、

26、=r(f,0)·

27、s-t

28、￡K·(e/K)=e．故A是等度連續(xù)的．由Arzela-Ascoli定理，A是列緊集．1.3.6設(shè)E={sinnt}n31，求證：E在C[0,p]中不是列緊的．證明：顯然E是一致有界的．根據(jù)Arzela-Ascoli定理，我們只要證明E不是等度連續(xù)的即可．我們的想法是找一個E中的點(diǎn)列fn，以及[0,p]中的兩個點(diǎn)列sn和tn，使得

29、sn-tn

30、?0，但

31、fn(sn)-fn(tn)

32、不收斂于0．事實(shí)上，這是可以做到的，只要令fn(u)=sin(2nu)，sn=(p/2)(1+1/(2n))，tn=(p/2)(1-1/(2n))．

33、則sn+tn=p；sn-tn=p/(2n)?0　(n?￥)．因此，

34、fn(sn)