數(shù)值分析課后習(xí)題答案

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1、習(xí)題一解答1．取3.14，3.15，，作為π的近似值，求各自的絕對誤差，相對誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：求絕對誤差的方法是按定義直接計(jì)算。求相對誤差的一般方法是先求出絕對誤差再按定義式計(jì)算。注意，不應(yīng)先求相對誤差再求絕對誤差。有效數(shù)字位數(shù)可以根據(jù)定義來求，即先由絕對誤差確定近似數(shù)的絕對誤差不超過那一位的半個(gè)單位，再確定有效數(shù)的末位是哪一位，進(jìn)一步確定有效數(shù)字和有效數(shù)位。有了定理2后，可以根據(jù)定理2更規(guī)范地解答。根據(jù)定理2，首先要將數(shù)值轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)形式，然后解答。解：（1）絕對誤差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3

2、.14＝0.00159…≈0.0016。相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)棣校?.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝所以，3.14作為π的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（2）絕對誤差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)棣校?.14159265…=0.314159265…×10，3

3、.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝所以，3.15作為π的近似值有2個(gè)有效數(shù)字。（3）絕對誤差:相對誤差：22有效數(shù)字：因?yàn)棣校?.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作為π的近似值有3個(gè)有效數(shù)字。（4）絕對誤差:相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)棣校?.14159265…=0.314159265…×10，，m=1。而所以所以，作為π的近似值有7個(gè)有效數(shù)字。指出：①實(shí)

4、際上，本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限，而不是絕對誤差和相對誤差。②為簡單計(jì)，本題相對誤差沒有化為百分?jǐn)?shù)。22③在求出絕對誤差后，按定義求有效數(shù)字是基本功，必須掌握。絕對不允許有了定理后就不會(huì)根據(jù)定義討論。因此，本類問題的解答應(yīng)當(dāng)是兩種方法都熟練掌握的。實(shí)際上，根據(jù)基本概念分析討論問題始終是最重要的方法，由于不同的作者會(huì)提出不同的定理系統(tǒng)，因此，掌握根據(jù)最本元的定義討論問題的方法是非常重要的。④祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。

5、祖籍范陽郡遒縣（今河北淶水縣）。在世界上最早計(jì)算出π的真值在3.1415926（朒數(shù)）和3.1415927（盈數(shù)）之間，相當(dāng)于精確到小數(shù)第7位，這一紀(jì)錄直到15世紀(jì)才由阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾.卡西打破。祖沖之還給出π的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式：（約率）和（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位，在西方直到16世紀(jì)才由荷蘭數(shù)學(xué)家奧托重新發(fā)現(xiàn)，比祖沖之晚了一千多年，數(shù)學(xué)史學(xué)界主張稱“密率”為“祖率”。⑤近似數(shù)的有效數(shù)字只能是有限位。⑥近似數(shù)的誤差分析中采用近似數(shù)x而不是其準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確數(shù)是未知的。⑦常出現(xiàn)德錯(cuò)誤是，第一，不進(jìn)行具體計(jì)算，結(jié)果不可靠；第二，兩個(gè)分?jǐn)?shù)

6、近似值（尤其第二個(gè)）取的數(shù)位不夠，結(jié)果有效數(shù)位計(jì)算錯(cuò)誤；第三，認(rèn)為分?jǐn)?shù)就是精確數(shù)，就有無窮多有效數(shù)字。2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300分析：本題實(shí)際上指出，按要求截取的近似數(shù)符合有效數(shù)字定義，相關(guān)數(shù)位上的數(shù)字都是有效數(shù)字。解答方法簡單，直接寫出就可以，不需要也不應(yīng)該做形式轉(zhuǎn)化（化為科學(xué)計(jì)數(shù)法形式）解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0

7、．60030。指出：注意0。只要求寫出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。。22分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字個(gè)數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差，用定義求出相對誤差。4.計(jì)算的近似

8、值，使其相對誤差不超過0.1％。解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1％，則，而，顯然，此時(shí)，，即，也即所以，n=4。此時(shí)，。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對，試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)及其相對誤差。解：其相對誤差分別