《數(shù)值分析》課后習(xí)題答案

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1、課后習(xí)題解答第一章緒論習(xí)題一1.設(shè)x>0,x*的相對誤差為δ，求f(x)=lnx的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相對誤差滿足，而，故即2.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對誤差限。解：直接根據(jù)定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對誤差限有2位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，3.下列公式如何才比較準(zhǔn)確？（1）（2）解：要使計算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。（1）

2、（2）4.近似數(shù)x*=0.0310,是3位有數(shù)數(shù)字。5.計算取，利用：式計算誤差最小。四個選項：習(xí)題二、三第二、三章插值與函數(shù)逼近1.給定的數(shù)值表用線性插值與二次插值計算ln0.54的近似值并估計誤差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并應(yīng)用誤差估計（5.8）。線性插值時，用0.5及0.6兩點，用Newton插值誤差限，因，故二次插值時，用0.5，0.6，0.7三點，作二次Newton插值誤差限，故1.在-4≤x≤4上給出的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過

3、，函數(shù)表的步長h應(yīng)取多少?解：用誤差估計式（5.8），令因得1.若，求和.解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是2.若互異，求的值，這里p≤n+1.解：，由均差對稱性可知當(dāng)有而當(dāng)P＝n＋1時于是得3.求證.解：解：只要按差分定義直接展開得1.已知的函數(shù)表求出三次Newton均差插值多項式，計算f(0.23)的近似值并用均差的余項表達(dá)式估計誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表由式(5.14)當(dāng)n=3時得Newton均差插值多項式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此

4、可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余項表達(dá)式(5.15)可得由于1.給定f(x)=cosx的函數(shù)表用Newton等距插值公式計算cos0.048及cos0.566的近似值并估計誤差解：先構(gòu)造差分表計算，用n=4得Newton前插公式誤差估計由公式（5.17）得其中計算時用Newton后插公式（5.18)誤差估計由公式（5.19）得這里仍為0.5651.求一個次數(shù)不高于四次的多項式p(x),使它滿足解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡單為宜。此處可先造使它滿足，顯然，再令p(x)=x2(2-x)+

5、Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝，于是2.令稱為第二類Chebyshev多項式，試求的表達(dá)式，并證明是［-1,1］上帶權(quán)的正交多項式序列。解：因1.用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計算均方誤差.解：本題給出擬合曲線，即，故法方程系數(shù)法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為1.填空題(1)滿足條件的插值多項式p(x)=().(2),則f［1,2,3,4］=()，f［1,2,3,4,5］=().(3)設(shè)為互異節(jié)點，為對應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則＝()，＝().(4)設(shè)是區(qū)間［0,1］上權(quán)函數(shù)為ρ(

6、x)=x的最高項系數(shù)為1的正交多項式序列，其中，則＝()，＝()答：（1）（2）（3）（4）第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題41.分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計算下列積分.解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式（6.11）及復(fù)合Simpson公式（6.13）直接計算即可。對，取n=8,在分點處計算f(x)的值構(gòu)造函數(shù)表。按式（6.11）求出，按式（6.13）求得，積分2.用Simpson公式求積分，并估計誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估計誤差，因，故3.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)

7、精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.(1)(2)(3)解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。（1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（3）令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對故求積公式具有2次代數(shù)精確度。1.計算積分，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分?解：由Sim

8、pson公式余項及得即，取n=6，即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過對梯形公式同樣，由余項公式得即取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過1.用Romberg求積算法求積分，取解：本題只要對積分使用Romberg算法（6.20），計算到K＝3，結(jié)果如下表所示。于是積分，積分準(zhǔn)確值為0.7132722.用三點Gauss-Legendre求積公式計算