數(shù)值分析課后習(xí)題答案

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1、第一章題12給定節(jié)點(diǎn)，，，，試分別對(duì)下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日插值余項(xiàng)：（1）（1）??????（2）（2）??????解?。?），由拉格朗日插值余項(xiàng)得；（2）由拉格朗日插值余項(xiàng)得.題15證明：對(duì)于以，為節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式，插值誤差.證　由拉格朗日插值余項(xiàng)得，其中，.題22采用下列方法構(gòu)造滿足條件，的插值多項(xiàng)式：（1）（1）??????用待定系數(shù)法；（2）（2）??????利用承襲性，先考察插值條件，的插值多項(xiàng)式.解　（1）有四個(gè)插值條件，故設(shè)，，代入得方程組解之，得；（2）先求滿足插值條件，的插值多項(xiàng)式，由0為二重零點(diǎn)，可設(shè)，代入，得，；再求滿足插值條件，的插值多項(xiàng)式，可設(shè)，，代入，得，.

2、題33設(shè)分段多項(xiàng)式是以為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)的值.解　由得，；，由得，；聯(lián)立兩方程，得，且此時(shí)，，是以為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù).題35用最小二乘法解下列超定方程組：.解　記殘差的平方和為令，得，解之得.題37用最小二乘法求形如的多項(xiàng)式，使與下列數(shù)據(jù)相擬合：192531384419.032.349.073.397.8?解　擬合曲線中的基函數(shù)為，，其法方程組為，其中，，，，，解之得，.第二章題3確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量地高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精度：（2）??????（2）從結(jié)論“在機(jī)械求積公式中，代數(shù)精度最高的是插值型的求積公式”出發(fā)，，，，，當(dāng)時(shí)，有左邊

3、＝，右邊＝，左邊＝右邊，當(dāng)時(shí)，有左邊＝，右邊＝，左邊≠右邊，所以該求積公式的代數(shù)精度為3.題8已知數(shù)據(jù)表1.11.31.53.00423.66934.4817試分別用辛甫生法與復(fù)化梯形法計(jì)算積分.解　辛甫生法；復(fù)化梯形法.題17用三點(diǎn)高斯公式求下列積分值.解　先做變量代換，設(shè)，則＝.第三章用歐拉方法求解初值問(wèn)題，：（1）??????試導(dǎo)出近似解的顯式表達(dá)式；解?。?）其顯示的Euler格式為：故將上組式子左右累加，得題10選取參數(shù)、，使下列差分格式具有二階精度：.解　將在點(diǎn)處作一次泰勒展開(kāi)，得代入，得而考慮其局部截?cái)嗾`差，設(shè)，比較上兩式，當(dāng)，時(shí)，.?第四章題2證明方程有且僅有一實(shí)根；試確

4、定這樣的區(qū)間，使迭代過(guò)程對(duì)一切均收斂.解　設(shè)，則在區(qū)間上連續(xù)，且，，所以在上至少有一根；又，所以單調(diào)遞增，故在上僅有一根.迭代過(guò)程，其迭代函數(shù)為，，，；，，由壓縮映像原理知，均收斂.注這里取為區(qū)間，也可取為區(qū)間等.題5考察求解方程的迭代法（１）（１）??證明它對(duì)于任意初值均收斂；（２）??證明它具有線性收斂性；證?。?）迭代函數(shù)為，，；又，由壓縮映像原理知，均收斂；（2）（否則，若，則，不滿足方程），所以迭代具有線性收斂速度；題7求方程在附近的一個(gè)根，證明下列兩種迭代過(guò)程在區(qū)間上均收斂：（１）（１）??改寫(xiě)方程為，相應(yīng)的迭代公式為；（２）（２）??改寫(xiě)方程為，相應(yīng)的迭代公式為.解?。?）

5、，迭代公式為，其迭代函數(shù)為，，；又，　，，由大范圍收斂定理知，均收斂；（2），迭代公式為，其迭代函數(shù)為，，；又，，，由大范圍收斂定理知，均收斂.題5分別用雅可比迭代與高斯-塞德?tīng)柕蠼庀铝蟹匠探M：（2）其雅可比迭代格式為，取初始向量，迭代發(fā)散；其高斯-塞德?tīng)柕袷綖?，取初始向量，迭代發(fā)散.第六章題2用主元消去法解下列方程組）解?。?）對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行列主元消元得回代求解上三角方程組得，所以.