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1、泛函分析課程總結(jié)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院09數(shù)本5班符翠艷2009224524序號：26一．知識總結(jié)第七章度量空間和賦范線性空間1.度量空間的定義：設(shè)是一個集合，若對于中任意兩個元素，都有唯一確定的實數(shù)與之相對應(yīng)，而且滿足則稱為上的一個度量函數(shù)，（）為度量空間，為兩點間的度量。2.度量空間的例子①離散的度量空間設(shè)是任意的非空集合，對中任意兩點,令②序列空間S令S表示實數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對S中任意兩點，令③有界函數(shù)空間B（A）設(shè)A是一給定的集合，令B（A）表示A上有界實值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對B（A）中任意兩點，定義④可測函數(shù)空間m(X)
2、設(shè)m(X)為X上實值（或復(fù)值）的L可測函數(shù)全體，m為L測度，若，對任意兩個可測函數(shù)，令⑤空間令表示閉區(qū)間上實值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)的全體，對中任意兩點，定義⑥空間記，設(shè)，，定義注：度量空間中距離的定義是關(guān)鍵。3.度量空間中的極限，稠密集，可分空間3.1收斂點列和極限定義：設(shè)是中的點列，如果存在,使，則稱點列是中的收斂點列，是點列的極限。注：1.度量空間中的收斂點列的極限是唯一的。2.各個度量空間中各種極限概念不完全一致（依坐標(biāo)收斂，一致收斂。依測度收斂等）3.2度量空間中稠密子集和可分度量空間定義：設(shè)是度量空間，和是中兩個自己，令表示的閉
3、包，如果,那么稱在集中稠密，當(dāng)=時稱是的一個稠密子集。如果由一個可數(shù)的稠密子集，則稱是可分空間。注：1.若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密。2.歐氏空間Rn、空間C[a,b]、空間是可分的。3.不可分。4.完備度量空間4.1柯西點列定義：設(shè)是度量空間，是中的點列，如果對任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù),使當(dāng)n,m>N時，必有則稱是中的柯西點列。那么稱是完備的度量空間。4.2完備度量空間的例子①是完備度量空間②C是完備度量空間③是完備度量空間4.3定理的證明定理：完備度量空間的子空間是完備空間的充要條件為是中的閉子空間。證明：設(shè)是完備
4、子空間，對每個，存在中點列，使，由前述，是中的柯西點列，所以在中收斂，有極限的唯一性可知，即,，所以，因此是中的閉子空間。5.度量空間的完備化5.1等距同構(gòu)映射定義：設(shè)，是兩個度量空間，如果存在到上的保距映射T，即，則稱和等距同構(gòu)，T稱為到上的等距同構(gòu)映射。5.2度量空間的完備化定理定理：設(shè)是度量空間，那么一定都一定存在一個完備空間，使與的某個稠密子空間等距同構(gòu)。并且在等距同構(gòu)的意義下時唯一的，即也是一完備度量空間，且與的某個稠密子空間等距同構(gòu)，則與等距同構(gòu)。注：任一度量空間都存在唯一的完備度量空間，使為的稠密子空間。6.壓縮映射6.1
5、壓縮映射定義：設(shè)是度量空間，T是到中的映射，如果存在一個數(shù)，，使得對所有的，（1）則稱T是壓縮映射6.2壓縮映射定理定理：設(shè)是完備的度量空間，T是上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點（就是說，方程，有且只有一個解）。證明：設(shè)是中任意一點，令，。我們證明點列是中柯西點列，事實上，（2）由三點不等式，當(dāng)n>m時，因，所以，于是得到（n>m）(3)所以當(dāng)時，，即是中柯西點列，由完備，存在，使，又由三點不等式和條件（1），我們有上面不等式右端當(dāng)時趨于0，所以即下證唯一性。如果又有使,則由條件（1），因，所以必有，即。注：1.是完備的度量空間2
6、.T是壓縮映射3.壓縮定理可以推導(dǎo)出隱函數(shù)存在定理4.壓縮映射原理可以證明常微分方程解得存在性和唯一性定理7.賦范線性空間和巴拿赫空間7.1賦范線性空間定義：設(shè)是實（或復(fù)）的線性空間，如果對每個向量，有一個確定的實數(shù)，記為與之對應(yīng)，并滿足則稱為向量的范數(shù)，稱按范數(shù)成為賦范線性空間。設(shè)是中點列，如果存在，使，則稱依范數(shù)收斂于，記為。如果令即依范數(shù)收斂于等價于按距離收斂于，稱為由范數(shù)導(dǎo)出的距離。注：完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間7.2幾種常見的巴拿赫空間①歐式空間對每一個，定義范數(shù)（1）又因完備，是中范數(shù)。故按（1）式中范數(shù)成為巴拿赫空間
7、。②空間對每一個，定義（2）按（2）式中的范數(shù)成為巴拿赫空間。③空間對每一個，定義（3）按（3）式中的范數(shù)成為巴拿赫空間。④空間對于每個，定義（4）按（4）式中的范數(shù)成為巴拿赫空間。⑤空間對每一個，定義（5）按（5）式中的范數(shù)成為巴拿赫空間。7.3兩個重要的不等式和兩條定理(1)霍爾德不等式設(shè)，那么在上可積，并且（2）閔可夫斯基不等式設(shè)，，那么，并且成立不等式定理1：當(dāng)時，按（4）式中范數(shù)成為賦范線性空間。定理2：是巴拿赫空間7.4有限維賦范線性空間的性質(zhì)定理3：設(shè)是n維賦范線性空間，是的一組基，則存在常數(shù)和，使得對一切，有推論1：設(shè)在
8、有限維線性空間上定義了兩個范數(shù)和，那么必存在常數(shù)和，使得拓撲同構(gòu)的定義：設(shè)和是兩個賦范線性空間。如果存在從到上的線性映射和正數(shù)，，使得對一切，有則稱和是兩個賦范線性空間是拓撲同構(gòu)推論2：任何有限維賦范空間都
