實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后答案

《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后答案》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、第一章習(xí)題參考解答第一章習(xí)題參考解答3．等式成立的的充要條件是什么？解：若，則.即，.反過來,假設(shè),因?yàn)?所以,.故,.最后證，事實(shí)上，,則且。若，則；若，則，故.從而,..即.反過來，若，則因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?，所以故另一方面，且，如果則；如果因?yàn)?，所以?則.從而于是，4．對于集合A，定義A的特征函數(shù)為，假設(shè)是一集列，證明：（i）（ii）證明：（i），，時(shí)，.所以，所以故46第一章習(xí)題參考解答，有有，故，即=0，從而5．設(shè)為集列，，證明（i）互相正交（ii）證明：（i）；不妨設(shè)n>m，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，故，從而相互正?（ii）因?yàn)?，有，所以，現(xiàn)在來證：當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有：則事實(shí)上，，則

2、使得，令則，其中，當(dāng)時(shí)，，從而，6．設(shè)是定義于E上的實(shí)函數(shù)，a為常數(shù)，證明：（i）=(ii)=證明：（i）且反過來，，使46第一章習(xí)題參考解答即故所以故7．設(shè)是E上的實(shí)函數(shù)列，具有極限，證明對任意常數(shù)a都有：證明：，即，且因?yàn)?，使，有，故所?，由k的任意性：，反過來，對于，，有=，即時(shí)，有：且，所以，且.，故從而故=8．設(shè)是區(qū)間（a，b）上的單調(diào)遞增的序列，即若有極限函數(shù)，證明：，證明：，即：且，因?yàn)樗?，恒有：，從而?6第一章習(xí)題參考解答反過來，，使，故，因此，且,即，，從而，10．證明：中坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)是不可數(shù)的。證明：設(shè)Q為有理數(shù)集，由定理6：Q是不可數(shù)的。現(xiàn)在證：可數(shù)，因?yàn)槭强?/p>

3、數(shù)個(gè)有理數(shù)集的并，故可數(shù)，又因?yàn)椴⑶遥钥蓴?shù)故可數(shù)14．證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明：設(shè)Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因?yàn)?，所以，故A是Q上一切有限子集的全體。15．設(shè)是兩兩不相交的集所組成的集列，證明：證明：因?yàn)閧}兩兩不相交，所以，，故另一方面，若，我們?nèi)t，使得.特別的，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)：（從而，46第一章習(xí)題參考解答這與矛盾，故從而16．若集A中每個(gè)元素由相互獨(dú)立的可列個(gè)指標(biāo)所決定，即A=，而每個(gè)指標(biāo)在一個(gè)勢為C的集中變化，則集A的勢為C。證明：設(shè)在勢為C的集合中變化，即A=因是既單又滿的映射，定義,故得既單又滿的映射,從而，從而17．設(shè)的勢

4、是C，證明至少有一個(gè)的勢也是C。證明：因?yàn)?，所以如果，則，即，正交可數(shù)，從而，正交可數(shù).這與矛盾.故，,使.18．證明：[0,1]上的實(shí)函數(shù)全體具有勢證明：設(shè)，則記[0，1]上全體是函數(shù)所構(gòu)成的集合為對于，定義函數(shù),即是集合A的特征函數(shù)。46第一章習(xí)題參考解答另一方面，，定義則，，則，所以，從而，20．證明：中孤立點(diǎn)集市有限或可數(shù)集證明：中，是的一些孤立點(diǎn)所構(gòu)成的集合由定義，，使得.現(xiàn)在令，則中任意二領(lǐng)域是不相交的事實(shí)上，若，有取，并且不失一般性設(shè)：，則.故，這推出，這與矛盾.，取一個(gè)有限點(diǎn)，則，當(dāng)，,所以，故.E正交可數(shù).19．設(shè)稱為E的內(nèi)點(diǎn)集，證明：是開集。證明：，因?yàn)閤為E的內(nèi)點(diǎn)，使得

5、：，現(xiàn)在證：事實(shí)上，，取則，故，從而，，即中每個(gè)點(diǎn)都是得內(nèi)點(diǎn)因此，為開集46第一章習(xí)題參考解答21．假設(shè)是[a,b]上唯一有限實(shí)函數(shù)，證明：它的第一類間斷點(diǎn)的全體是可數(shù)的。證明：[a,b]中右極限存在的間斷點(diǎn)是至多可數(shù)的.令有限}，，作：,時(shí)，使得則：（1）上連續(xù)點(diǎn)的集合事實(shí)上，，取因，故有即，在點(diǎn)連續(xù)。（2），因有限，故使得，，故，有，從而，.現(xiàn)在證：是兩兩不相交的開區(qū)間集不妨設(shè)，如果，取則即，，這與矛盾，故A兩兩不相交，從而可數(shù)故至多可數(shù)。即，中第一類間斷點(diǎn)至多可數(shù)。20．證明中孤立點(diǎn)集是至多可數(shù)集證明：設(shè)F是點(diǎn)集E中一些孤立點(diǎn)所構(gòu)成的集合，有現(xiàn)在先證：是兩兩不相交的46第一章習(xí)題參考解

6、答事實(shí)上，，如果，則（不妨設(shè)），故,這與矛盾.所以，是兩兩不相交的.,取有理點(diǎn)，故，從而，22．證明：中直線上每個(gè)閉集必是可數(shù)個(gè)開集的交，每個(gè)開集必是可數(shù)個(gè)閉集的并.證明：設(shè)F是中的一個(gè)閉集，先證：，=

7、是R中的開集，其中，則，取，故事實(shí)上，，所以是開集現(xiàn)在證：、事實(shí)上，，，所以.反過來，，有.故.,即.，使.所以.故，，這與矛盾.所以，從而.再來證：每個(gè)開集必是可數(shù)個(gè)閉集的并.事實(shí)上，若是開集，則是閉集.所以存在可數(shù)個(gè)開集，使得，所以.即是可數(shù)個(gè)閉區(qū)間集的并.23.假設(shè)是一列開區(qū)間，如果，證明是一個(gè)開區(qū)間46第一章習(xí)題參考解答證明：，記，，其中，因?yàn)?，所以可取現(xiàn)在我們證：因?yàn)椋?，故反過來，

8、，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，?所以.如果，，使，故，從而24.設(shè)，是E的一個(gè)開覆蓋，證明：中必存在至多可數(shù)個(gè)，使得.證明：不妨設(shè)中每一個(gè)元都是開區(qū)間.，存在，有，故有：端點(diǎn)的開區(qū)間，使得.即，.又因?yàn)閪所以可數(shù).不妨設(shè)=，又記.其中，故25.已知：可數(shù)集，開區(qū)間列，，，覆蓋了它，這里，從此覆蓋中能否選出集的有限子覆蓋.答：不能，證明如下：證明：（反正）如果，，使得（*），不妨設(shè)46第一章習(xí)題參考解答，因?yàn)?，，則