實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后答案.pdf

《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后答案.pdf》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、第一章習(xí)題參考解答第一章習(xí)題參考解答3．等式(A?B)?C?A?(B?C)成立的的充要條件是什么？解：若(A?B)?C?A?(B?C)，則C?(A?B)?C?A?(B?C)?A.即，C?A.反過來,假設(shè)C?A,因?yàn)锽?C?B.所以,A?B?A?(B?C).故,(A?B)?C?A?(B?C).最后證，A?(B?C)?(A?B)?C事實(shí)上，?x?A?(B?C),則x?A且x?B?C。若x?C，則x?(A?B)?C；若x?C，則x?B，故x?A?B?(A?B)?C.從而,A?(B?C)?(A?B)?C.C?(A?B)?C?A?(B?C)?A???A.即C?A.反過來，若C?A

2、，則因?yàn)锽?C?B所以A?B?A?(B?C)又因?yàn)镃?A，所以C?A?(B?C)故(A?B)?C?A?(B?C)另一方面，?x?A?(B?C)?x?A且x?B?C，如果x?C則x?(A?B)?C；如果x?C,因?yàn)閤?B?C，所以x?B故x?A?B.則x?(A?B)?C.從而A?(B?C)?(A?B)?C于是，(A?B)?C?A?(B?C)?1,x?A4．對于集合A，定義A的特征函數(shù)為?A(x)??，假設(shè)A1,A2,?,An?是?0,x?A一集列，證明：（i）?(x)?liminf?(x)liminfAAnnnn（ii）?(x)?limsup?(x)limsupAAnnn

3、n證明：（i）?x?liminfAn??(?An)，?n0?N，?m?n0時，x?Am.nn?Nm?n所以?Am(x)?1，所以minf?n?Am(x)?1故limninf?An(x)?supinfm?n?Am(x)?10b?N1第一章習(xí)題參考解答?x?liminfA??n?N，有x??A??k?nnnnnm?n有x?Akm??Akn?0?infm?n?Am(x)?0，故supinfm?n?Am(x)?0，即limninf?An(x)=0，b?N從而?(x)?liminf?(x)liminfAAnnnni?15．設(shè){A}為集列，B?A，B?A??A(i?1)證明n11i

4、ijj?1（i）{B}互相正交nnn（ii）?n?N,?A??Biii?1i?1n?1證明：（i）?n,m?N,n?m；不妨設(shè)n>m，因?yàn)锽?A??A?A?A，又因nninmi?1?為B?A，所以B?A?A?A?B，故B?B??，從而?B}相互正交.mmnnmnmnmnn?1nnnn（ii）因?yàn)?i(1?i?n)，有B?A，所以?B??A，現(xiàn)在來證：?A??Biiiiiii?1i?1i?1i?1當(dāng)n=1時，A?B；11nn當(dāng)n?1時，有：?A??Biii?1i?1n?1nn?1nnn則?A?(?A)?A?(?A)?(A??A)?(?B)?(B??B)iin?1in?1i

5、in?1ii?1i?1i?1i?1i?1i?1n事實(shí)上，?x??A，則?i(1?i?n)使得x?A，令i?min?i

6、x?A且1?i?n?ii0ii?1i0?1ni0?1nn則x?A??A?B??B，其中，當(dāng)i?1時，?A??，從而，?A??Bi0ii0i0iiii?1i?1i?1i?1i?16．設(shè)f(x)是定義于E上的實(shí)函數(shù)，a為常數(shù)，證明：?1（i）E{x

7、f(x)?a}=?{f(x)?a?}n?1n?1(ii)E{x

8、f(x)?a}=?{f(x)?a?}n?1n證明：（i）?x?E{x

9、f(x)?a}?x?E且f(x)?a11??n?N,使得f(x)?a??a且x

10、?E?x?E{x

11、f(x)?a?}nn?1?1?x??E{x

12、f(x)?a?}?E{x

13、f(x)?a}??E{x

14、f(x)?a?}n?1nn?1n?11反過來，?x??E{x?x

15、f(x)?a?},?n?N，使x?E{x

16、f(x)?a?}n?1nn2第一章習(xí)題參考解答1即f(x)?a??a且x?E故x?E{x

17、f(x)?a}n?1所以?E{x

18、f(x)?a?}?E{x

19、f(x)?a}故n?1n?1E{x

20、f(x)?a}?E{x

21、f(x)?a?}n?1n7．設(shè){f(x)}是E上的實(shí)函數(shù)列，具有極限f(x)，證明對任意常數(shù)a都有：n?1?1E{x

22、f(x)?a}??limi

23、nfE{x

24、f(x)?a?}??liminfE{x

25、f(x)?a?}nnk?1nkk?1nk1證明：?x?E{x

26、f(x)?a},?k?N，即f(x)?a?a?，且x?Ek1因?yàn)閘imf(x)?f(x)，?n?N，使?m?n，有f(x)?a?，故nnn??k11x?E{x

27、f(x)?a?}(?m?n)，所以x??E{x

28、f(x)?a?}mmkm?nk11x???E{x

29、f(x)?a?}=liminfE{x

30、f(x)?a?}，由k的任意性：mmn?Nm?nknk?1?1x??liminfE{x

31、f(x)?a?}，反過來，對于?x??limi