實(shí)變函數(shù)論與泛函分析(曹廣福)1到5章課后習(xí)題答案

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1、第一章習(xí)題參考解答第一章習(xí)題參考解答3.等式(A-B)èC=A-(B-C)成立的的充要條件是什么？解：若(A-B)èC=A-(B-C)，則Cì(A-B)èC=A-(B-C)ìA.即，CìA.反過來,假設(shè)CìA,因?yàn)锽-CìB.所以,A-BìA-(B-C).故,(A-B)èCìA-(B-C).最后證，A-(B-C)ì(A-B)èC事實(shí)上，"x?A-(B-C),則x?A且x?B-C。若x?C，則x?(A-B)èC；若x?C，則x?B，故x?A-Bì(A-B)èC.從而,A-(B-C)ì(A-B)èC.Cì(A-B)èC

2、=A-(B-C)ìA-?=A.即CìA.反過來，若CìA，則因?yàn)锽-CìB所以A-BìA-(B-C)又因?yàn)镃ìA，所以CìA-(B-C)故(A-B)èCìA-(B-C)45第一章習(xí)題參考解答另一方面，"x?A-(B-C)Tx?A且x?B-C，如果x?C則x?(A-B)UC；45第一章習(xí)題參考解答如果x?C,因?yàn)閤?B-C，所以x?B故x?A-B.則x?(A-B)èC.從而A-(B-C)ì(A-B)èC45第一章習(xí)題參考解答于是，(A-B)èC=A-(B-C)ì1,x?A45第一章習(xí)題參考解答3.對(duì)于集合A，定

3、義A的特征函數(shù)為cA(x)=í?0,x?A，假設(shè)A1,A2,L,AnL是45第一章習(xí)題參考解答45第一章習(xí)題參考解答一集列，證明：（i）climinfA(x)=liminfcA(x)45第一章習(xí)題參考解答nnnn45第一章習(xí)題參考解答（i）climsupA(x)=limsupcA(x)45第一章習(xí)題參考解答nnnn證明：（i）"x?liminfAn=è(?An)，$n0?N，"m3n0時(shí)，x?Am.nn?Nm3n45第一章習(xí)題參考解答所以cA(x)=1，所以infcA(x)=1故liminfcA(x)=s

4、upinfcA(x)=145第一章習(xí)題參考解答mm3n0mnnb?Nm3nm45第一章習(xí)題參考解答"x?liminfAnT"n?N，有x??AnT$kn3n45第一章習(xí)題參考解答nm3n有x?AkTcA=0TinfcA(x)=0，故supnficA(x)=0，即limnficA(x)=0，45第一章習(xí)題參考解答mknm3nmb?Nm3nmnn45第一章習(xí)題參考解答從而climinfA(x)=liminfcA(x)45第一章習(xí)題參考解答nnnni-145第一章習(xí)題參考解答=3.設(shè){An}為集列，B1=

5、A1，Bi=Ai-èAj(i>1)證明j1（i）{Bn}互相正交nn（ii）"n?N,UAi=UBi45第一章習(xí)題參考解答i=1i=1n-145第一章習(xí)題參考解答U證明：（i）"n,m?N,n1m；不妨設(shè)n>m，因?yàn)锽n=An-AiìAn-Am，又因i=145第一章習(xí)題參考解答mm為BìA，所以BìA-AìA-B，故BIB=?，從而{B}￥相互正交.45第一章習(xí)題參考解答nnmnmnmnn=1nnnn（ii）因?yàn)?i(1￡i￡n)，有BiìAi，所以èBiìèAi，現(xiàn)在來證：èAiìèBi45第一章

6、習(xí)題參考解答當(dāng)n=1時(shí)，A1=B1；i=1i=1i=1i=145第一章習(xí)題參考解答nn當(dāng)n31時(shí)，有：UAi=UBii=1i=1n+1nn+1nnn則UAi=(UAi)UAn+1=(UAi)U(An+1-UAi)=(UBi)U(Bn+1-UBi)45第一章習(xí)題參考解答i=1i=1i=1i=1i=1i=145第一章習(xí)題參考解答ii{}0in事實(shí)上，"x?èA，則$i(1￡i￡n)使得x?A，令i=mini

7、x?A且1￡i￡ni=1i0-1ni0-1nn則x?Ai0-UAi=Bi0ìUBi，其中，當(dāng)i

8、0=1時(shí)，UAi=?，從而，UAi=UBi45第一章習(xí)題參考解答i=1i=1i=1i=1i=145第一章習(xí)題參考解答4.設(shè)f(x)是定義于E上的實(shí)函數(shù)，a為常數(shù)，證明：1￥（i）E{x

9、f(x)>a}=U{f(x)3a+}n=1n45第一章習(xí)題參考解答(ii)￥1E{x

10、f(x)3a}=I{f(x)>a-}45第一章習(xí)題參考解答n=1n證明：（i）"x?E{x

11、f(x)>a}Tx?E且f(x)>aT$n?N,使得f(x)3a+1>a且x?ETx?E{x

12、f(x)3a+1}45第一章習(xí)題參考解答Tx?n1

13、￥UE{x

14、f(x)3a+}TE{x

15、f(x)>a}ìn1￥UE{x

16、f(x)3a+}45第一章習(xí)題參考解答n=1nn=1n45第一章習(xí)題參考解答反過來，"x?￥E{x{x

17、f(x)3a+1},$n?Nx?E{x

18、f(x)3a+1}45第一章習(xí)題參考解答U，使n=1nn45第一章習(xí)題參考解答即f(x)3a+1n￥>a且x?E1故x?E{x

19、f(x)>