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《橢圓中互相垂直的弦中點過定點問題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、橢圓中互相垂直的弦中點過定點問題（1）過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦，。若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點。（2）過橢圓的長軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，。若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點。設(shè)的直線為，則的直線方程為，，，，，，由中點公式得，將用代換，得到的坐標的直線方程為，令，得所以直線恒過定點。（3）過橢圓的短軸上任意一點作兩條互相垂直的弦，。若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點。12（4）過橢圓內(nèi)的任意一點作兩條互相垂直的弦，。若弦，的中點分別為，，那么直線恒過定點。設(shè)的直線為，則的直線方程為，，，，由中點公式得直線的方程為：，即，所以直線恒過定點。12重慶高2
2、018級理科二診20（本題滿分12分）已知，是橢圓的左右焦點。（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于四點。線段，的中點分別是，，求證：直線過定點，并求出該定點坐標。設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程得：，，，,由題意，若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，所以若直線經(jīng)過定點，則該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上。設(shè)該定點坐標，，代入坐標化簡得，所以過定點。12結(jié)論（一）以為直角定點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點。推論1：以上頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上。證明：設(shè)右頂點，設(shè)，，，，將換成得：由題意，若直線關(guān)于軸對稱后得到
3、直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，所以若直線經(jīng)過定點，則該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上。設(shè)該定點坐標，，，所以過定點。推論2：以右頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，且定點在軸上。證明：設(shè)右頂點，設(shè)，，，，將換成得：由題意，若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，所以若直線經(jīng)過定點，則該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上。12設(shè)該定點坐標，，，所以過定點。下面探求面積的最大值：代入橢圓得：，，當且僅當時等號成立取最大值。面積在單調(diào)遞減。結(jié)論2：以為直角定點的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點，結(jié)論3：以為直角定點的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點
4、重慶高2018級文科二診20（本題滿分12分）已知，是橢圓的左右焦點，為橢圓的上頂點。（2）過點作兩條互相垂直的直線與橢圓交于，兩點（異于點），證明：直線過定點，并求該定點的坐標。（2）解：設(shè)，直線，聯(lián)立橢圓方程得：12，，，由題意，若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，所以若直線經(jīng)過定點，則該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上。設(shè)該定點坐標，，代入，化簡得，所以過定點。重慶巴蜀中學(xué)高2018級屆月考卷九理科20（本小題滿分12分）已知橢圓的左右焦點分別是，，上頂點，右頂點為，的外接圓半徑為。（1）求橢圓的標準方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點
5、，求面積的最大值。解：（Ⅰ）右頂點為，，，橢圓的標準方程為．……………………………………………（4分）（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得．……………………………………………（6分）以為直徑的圓經(jīng)過點，①……………………………………………（7分）12，代入①式得或（舍去），故直線過定點．……………………………………………………（9分），…………（10分）令，則在上單調(diào)遞減，時，．…………………………………………………（12分）(一般化結(jié)論)：直線與橢圓交于兩點，為上頂點。(1)若，則直線過定點；（2）若，則直線過定點；證明：設(shè)直線方程為，，，，，，（1）等式兩邊同時除以，化簡得：，所以
6、直線過定點。12所以直線過定點。（2017年全國卷1理科12分）已知橢圓，四點，，，中恰有三點在橢圓上。（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓相交于兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明：過定點。解析：（1）略；（2）（一）當直線斜率不存在時，設(shè)，，，，得，此時直線過橢圓右頂點，無兩個交點，故不滿足。（二）當直線斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立，，，，又，此時，存在使得，所以直線的方程為：，過定點。（一般化直角弦過定點）12過上一點作兩條互相垂直的弦、，試研究弦是否過定點？解：設(shè)，由得到①設(shè)直線的方程為（斜率不存在時容易證明）又∵在橢圓上 ∴②同理可得：③將②③兩式代入到①得∵點不在
7、直線上，∴∴整理得：∴直線過定點注：引理：若、是方程的兩個實數(shù)根，則。證法思路二：設(shè)在橢圓上，即，設(shè)，12，，，，所以過定點。已知橢圓過點，離心率為，、是橢圓上兩個動點，且直線、的斜率之積為。（1）求橢圓標準方程；（2）求面積的最大值。（一般結(jié)論）設(shè)為橢圓C:上一點，為曲線C的動弦,且弦,斜率存在，記為,,則直線通過定點的充要條件是。（一般結(jié)論）過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于，兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.證明：設(shè)A
