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《橢圓中互相垂直的弦中點過定點問題》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、橢圓中互相垂直的弦中點過定點問題(1)過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的弦,。若弦,的中點分別為,,那么直線恒過定點。(2)過橢圓的長軸上任意一點作兩條互相垂直的弦,。若弦,的中點分別為,,那么直線恒過定點。設(shè)的直線為,則的直線方程為,,,,,,由中點公式得,將用代換,得到的坐標的直線方程為,令,得所以直線恒過定點。(3)過橢圓的短軸上任意一點作兩條互相垂直的弦,。若弦,的中點分別為,,那么直線恒過定點。12(4)過橢圓內(nèi)的任意一點作兩條互相垂直的弦,。若弦,的中點分別為,,那么直線恒過定點。設(shè)的直線為,則的直線方程為,,,
2、,由中點公式得直線的方程為:,即,所以直線恒過定點。12重慶高2018級理科二診20(本題滿分12分)已知,是橢圓的左右焦點。(2)過作兩條互相垂直的直線與(均不與軸重合)分別與橢圓交于四點。線段,的中點分別是,,求證:直線過定點,并求出該定點坐標。設(shè)直線,聯(lián)立橢圓方程得:,,,,由題意,若直線關(guān)于軸對稱后得到直線,則得到的直線與關(guān)于軸對稱,所以若直線經(jīng)過定點,則該定點一定是直線與的交點,該點必在軸上。設(shè)該定點坐標,,代入坐標化簡得,所以過定點。12結(jié)論(一)以為直角定點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點。推論1:以上頂
3、點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點,且定點在軸上。證明:設(shè)右頂點,設(shè),,,,將換成得:由題意,若直線關(guān)于軸對稱后得到直線,則得到的直線與關(guān)于軸對稱,所以若直線經(jīng)過定點,則該定點一定是直線與的交點,該點必在軸上。設(shè)該定點坐標,,,所以過定點。推論2:以右頂點為直角頂點的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點,且定點在軸上。證明:設(shè)右頂點,設(shè),,,,將換成得:由題意,若直線關(guān)于軸對稱后得到直線,則得到的直線與關(guān)于軸對稱,所以若直線經(jīng)過定點,則該定點一定是直線與的交點,該點必在軸上。12設(shè)該定點坐標,,,所以過定點。下面
4、探求面積的最大值:代入橢圓得:,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立取最大值。面積在單調(diào)遞減。結(jié)論2:以為直角定點的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點,結(jié)論3:以為直角定點的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點重慶高2018級文科二診20(本題滿分12分)已知,是橢圓的左右焦點,為橢圓的上頂點。(2)過點作兩條互相垂直的直線與橢圓交于,兩點(異于點),證明:直線過定點,并求該定點的坐標。(2)解:設(shè),直線,聯(lián)立橢圓方程得:12,,,由題意,若直線關(guān)于軸對稱后得到直線,則得到的直線與關(guān)于軸對稱,所以若直線經(jīng)過定點,則該定點一定是直線與的交點
5、,該點必在軸上。設(shè)該定點坐標,,代入,化簡得,所以過定點。重慶巴蜀中學(xué)高2018級屆月考卷九理科20(本小題滿分12分)已知橢圓的左右焦點分別是,,上頂點,右頂點為,的外接圓半徑為。(1)求橢圓的標準方程;(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點,若以為直徑的圓經(jīng)過點,求面積的最大值。解:(Ⅰ)右頂點為,,,橢圓的標準方程為.……………………………………………(4分)(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,與橢圓聯(lián)立得.……………………………………………(6分)以為直徑的圓經(jīng)過點,①……………………………………………(7分)12,代入①式得或(舍去)
6、,故直線過定點.……………………………………………………(9分),…………(10分)令,則在上單調(diào)遞減,時,.…………………………………………………(12分)(一般化結(jié)論):直線與橢圓交于兩點,為上頂點。(1)若,則直線過定點;(2)若,則直線過定點;證明:設(shè)直線方程為,,,,,,(1)等式兩邊同時除以,化簡得:,所以直線過定點。12所以直線過定點。(2017年全國卷1理科12分)已知橢圓,四點,,,中恰有三點在橢圓上。(1)求橢圓方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓相交于兩點,若直線與直線的斜率之和為,證明:過定點。解析
7、:(1)略;(2)(一)當(dāng)直線斜率不存在時,設(shè),,,,得,此時直線過橢圓右頂點,無兩個交點,故不滿足。(二)當(dāng)直線斜率存在時,設(shè),,,聯(lián)立,,,,又,此時,存在使得,所以直線的方程為:,過定點。(一般化直角弦過定點)12過上一點作兩條互相垂直的弦、,試研究弦是否過定點?解:設(shè),由得到①設(shè)直線的方程為(斜率不存在時容易證明)又∵在橢圓上 ∴②同理可得:③將②③兩式代入到①得∵點不在直線上,∴∴整理得:∴直線過定點注:引理:若、是方程的兩個實數(shù)根,則。證法思路二:設(shè)在橢圓上,即,設(shè),12,,,,所以過定點。已知橢圓過點,離
8、心率為,、是橢圓上兩個動點,且直線、的斜率之積為。(1)求橢圓標準方程;(2)求面積的最大值。(一般結(jié)論)設(shè)為橢圓C:上一點,為曲線C的動弦,且弦,斜率存在,記為,,則直線通過定點的充要條件是。(一般結(jié)論)過橢圓(a>0,b>0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于,兩點,則直線BC有定向且(常數(shù)).證明:設(shè)A