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1、時間就是金錢，效率就是生命！橢圓中的定點與定值問題江蘇省蘇州第十中學朱嘉雋【教學目標】1.在解決橢圓定值定點問題的過程中，體驗以動態(tài)的觀點研究解析幾何問題的思維方式；2.綜合、靈活地使用對稱、共線以及變量之間的關(guān)系，掌握等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.【基礎訓練】1.已知橢圓的左頂點為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點，直線MN過軸上的一定點，該定點為___________．【解析】通過特殊位置判斷，不妨設直線AM的斜率為1，直線AN的斜率為-1，聯(lián)立橢圓與直線方程解之，即，由此時點M、N的對稱性可知，直線MN過軸上的定點．【反思】填空題中涉及定
2、點定值問題的，往往采用特殊位置帶入求解，猜測得到答案，在解答題中也經(jīng)常采用先猜后證的方法，但要注重嚴格的計算證明．2.橢圓上一點，若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，當直線、的斜率都存在時，=_____________.【解析】設點求解，抓住點在橢圓上，構(gòu)建關(guān)系，設、，則，，，又，.【反思】有關(guān)重要結(jié)論可識記，若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點唯有惜時才能成功，唯有努力方可成就！時間就是金錢，效率就是生命！是橢圓上一定點，則．1.設橢圓的左、右頂點分別為，點P在橢圓上且異于兩點，O為坐標原點，若直線AP與BP的斜率之積為，則橢圓的離心率為__________.【解析】
3、設、，再設橢圓上異于兩點的任一點，則有，由題意，，，.【反思】利用第2小題的結(jié)論即可得到答案，這其實是對橢圓的另一種定義形式，即“一個動點到兩個定點的連線斜率乘積為定值，且該定值在內(nèi)”．2.已知橢圓上有一點，點是橢圓上的兩個動點，當直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)時，直線的斜率為__________.【解析】結(jié)合前幾題的思考過程，本題亦可采用特殊位置猜測得到結(jié)論，不妨取點為點關(guān)于原點的對稱點，即，則由直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)可知，，則，故，恰為橢圓的右頂點，此時.【反思】若要對本題嚴格論證，則需要聯(lián)立直線方程和橢圓方程，分別求解的點坐標，但仍可從先猜后證的
4、角度入手，適當簡化【例題講解】Oxy圖1例1已知橢圓，設是橢圓上異于長軸端點的任意一點，試問在軸上是否存在兩個定點，使得直線的斜率之積為定值？【解析】尋找題目中的變量與不變量，分辨清晰，避免因為變量過多造成思路混亂，假設在唯有惜時才能成功，唯有努力方可成就！時間就是金錢，效率就是生命！軸上存在滿足題意的兩個定點，且設為、，再設橢圓上異于長軸端點的任一點，則，由題意，，即，即，整理得，，因是橢圓上任一點，故在軸上存在兩個定點、，使得.【反思】通過解后反思，可以發(fā)現(xiàn)此時的、就是橢圓的左右頂點，故對基礎訓練中的結(jié)論又從另一個角度加以了論證和解釋，在本題中主要滲透待定系數(shù)
5、的方法，要學會在定點定值問題中加以靈活運用.由本題的設問，可以引申到如果在直線上找兩個定點，是否也可以使得直線的斜率之積為定值？諸如此類的推廣和探索，可作為學生的課后思考.圖2例2如圖2，設點是橢圓上的任意一點，且異于左右頂點，直線分別交直線于點．（1）求證：；（2）若連結(jié)并延長交橢圓與點，試證：唯有惜時才能成功，唯有努力方可成就！時間就是金錢，效率就是生命！過軸上的一個定點.【解析】（1）（解法一）設點，則有，，直線，，故，，.或利用斜率關(guān)系，求得，，則.或利用點求出直線，，則.（解法二）設、，利用三點共線，得，即，同理三點共線，得，即，由此亦可證或者.綜上，得
6、證.【反思】利用在基礎訓練中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論“若是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，點是橢圓上一定點，則有”，在本題中恰好為橢圓的左右頂點，不難發(fā)現(xiàn)唯有惜時才能成功，唯有努力方可成就！時間就是金錢，效率就是生命！，故在本題中，無論點如何運動（異于左右頂點），若設，則必有，由題意易得（令直線與軸的交點為，直線的斜率為直線傾斜角的正切），，而，又由，，故為一個定值.這為我們從解析幾何問題的幾何背景對定點定值加深理解提供了另一種渠道.從（1）的證明中，我們還可以得到：點的縱坐標之積是一個定值，即.由此，可對本題做一個拓展：試證以為直徑的圓必過軸上的兩個定點.從解析幾何代數(shù)解決方法的
7、角度略證，從其幾何背景分析，由于為定值，則由射影定理可知，以為直徑的圓必過和.由此，設想若直線改為其他直線，則上述結(jié)論是否依然成立？很顯然，（1）中的結(jié)論不成立，但是點的縱坐標之積仍為一個定值，故以為直徑的圓仍然必過軸上的兩個定點，我們還可以設法求出這樣的圓的最小半徑，可利用基本不等式加以求解，此處略解.若直線為橢圓的右準線，則，可得，此時，故是鈍角，可見原題中的直線是較為特殊的一條直線.（2）設直線的斜率為，則直線，則聯(lián)立橢圓方程得，，故，由（1）所證，，以代得，特別地，令，即，此時，此時，直線與軸上的交點為，以下證明即為所求定點：，同理，唯有惜時才能成功，唯有
8、努力方可成
