數(shù)列通項公式求法思考

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1、數(shù)列通項公式求法的思考---遞歸數(shù)列通項公式的求法摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,求數(shù)列的通項公式就是其中最為常見的題型之一,每年都有一個大題,既可考查等價轉(zhuǎn)化與化歸這一數(shù)學(xué)思想,又能反映考生對等差與等比數(shù)列理解的深度,具有一定的技巧性,而且數(shù)列問題背景新穎,綜合性強,能力要求高,思維力度大,內(nèi)在聯(lián)系密切,思維方法靈活,致使很多考生在數(shù)列題當中失分較多,特別是已知條件以遞推形式給出的數(shù)列——遞歸數(shù)列,求其通項公式就顯得更加困難.本文對幾類常見的遞歸數(shù)列求通項問題作一些探求,希望對大家有所啟發(fā).關(guān)鍵字：遞歸數(shù)列遞推公式通項公式求法一、定義：對任意的自然數(shù)n,有遞推關(guān)系確定的數(shù)列,其中

2、為初始值，r為遞歸數(shù)列的階數(shù)。二、通項公式的求法類型1.若數(shù)列例1.（07年北京考卷15題）數(shù)列.(1)求c的值（2）求的通項公式.分析：有條件（1）易知則=點評：一般地，對于型如類的通項公式，只要能進行求和，則宜采用此方法求解，稱之為疊加法。類型2.若數(shù)列=…·5例2：在數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表達式。分析：由(n+1)·=n·得，=··…=所以點評：一般地，對于型如=(n)·類的通項公式，當?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法；稱之為疊乘法.類型3.若數(shù)列p=1為等差，q=0時為等比.當構(gòu)造1：，轉(zhuǎn)化類型1，可求其通式構(gòu)造2：設(shè)存在，即可求其通式例3.（07年全國試卷Ⅰ

3、22題）已知數(shù)列(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列分析：（1）利用構(gòu)造2:由，,可求其通式公式.利用構(gòu)造1：，同樣可求得其通項公式.類型4.若數(shù)列分析：可在式子的兩邊同除以，化為類型3構(gòu)造1，可求其通項公式.例4.（07年天津21題）在數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）證明存在5分析：由題意得：所以是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，即類型5.若數(shù)列p,q為常數(shù).分析：若能找到--①，令，則為等比數(shù)列，且，由此可化為類型4.下面主要探討如何來確定：①可化為，比較得，此方程稱的特征方程.于是有所以，，轉(zhuǎn)化為類型4可求其通式.分析：上式可化為，，轉(zhuǎn)化為類型1,可求其

4、通式.已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，都可轉(zhuǎn)化化歸為以上五中類型之一進行求解，等差數(shù)列和等比數(shù)列是最為常見較為簡單的遞歸數(shù)列，熟悉以上幾種類型，明確其中的原理，滲透其中的構(gòu)造思想，對我們解決數(shù)列方面的問題大有幫助.三、應(yīng)用1.若數(shù)列求其通項公式解：原式可變?yōu)槭醉棧?為公差的等差數(shù)列，則，由類型1；可得.2.設(shè)，求此數(shù)列的通項公式.解：可把遞推公式化為，可見是常數(shù)列，于是=…=,即，進而可變形為：，所以是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得.3(02年高考).某城市01年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護城市環(huán)境，要求該

5、城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？分析：本題主要考查數(shù)列、數(shù)列的極限等基礎(chǔ)知識，考查建立數(shù)學(xué)模型，運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。解：設(shè)01年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車x萬輛，則對于，有遞推關(guān)系5，數(shù)列是以為首項，以0.94為公比的等比數(shù)列，故當，即時，當，即時，因為數(shù)列單調(diào)增加，且，所以可以任意靠近，但不會超過。因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即，則，即（萬輛）綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛。4.“Hanni塔謎”。有n個外徑不等的圓環(huán)，套在尖端朝上的木釘上，最大的圓環(huán)在最底層，成為一個

6、上小下大的塔形（如圖），另外還有兩釘子豎直釘在木板上，現(xiàn)將塔形移到第二個釘子上，而每次只能移動一個圓環(huán)，但在每次移動中都不能將大圓環(huán)置于小圓環(huán)之上，這些當然要第三個釘子的作用，試問必須搬動多少次？分析：用遞歸數(shù)列思想建立與的遞歸關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在。解：設(shè)為搬完這n個圓環(huán)所需搬動的次數(shù)，易知，首先將第一個釘子最上的個圓環(huán)移到第三個釘子上，需搬動次，將底部最大圓環(huán)搬到第二個釘子上，需1次，然后將第三個釘子上的圓環(huán)搬到第二個釘子上，需要次搬動，于是有關(guān)系式，即，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故5，即在數(shù)列中，已知，利用類型3構(gòu)造2，令，與對比，得，由數(shù)列是等比數(shù)列，可得，即.總結(jié)

7、：數(shù)列是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點,它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系．因而在歷年的高考試題中占有較大的比重,求解數(shù)列題往往涉及到重要的數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生的能力要求較高．所以，數(shù)列問題成為歷年高考的熱點內(nèi)容．在這類問題中，求數(shù)列的通項往往是解題的突破口、關(guān)鍵點，本文以高考題為實例，根據(jù)教學(xué)實踐,談?wù)勄蠼飧呖紨?shù)列題的常用策略:化歸轉(zhuǎn)化策略數(shù)列問題?？苫瘹w為等差（等比）數(shù)列或化歸為我們熟悉的數(shù)列問題去求解，就數(shù)列通項公式的幾種初等求法作一總結(jié)，供參