高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)

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1、高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)知識(shí)下冊(cè)（一）：多元函數(shù)的微積分：將上冊(cè)的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)最典型的是二元函數(shù)極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無(wú)限接近的方式有無(wú)限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無(wú)論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢(shì)連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等導(dǎo)數(shù)：上冊(cè)中已經(jīng)說(shuō)過(guò)，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會(huì)有不同的變化率，這樣引出方向?qū)?/p>

2、數(shù)的概念沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱(chēng)之為偏導(dǎo)數(shù)通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來(lái)表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對(duì)一元函數(shù)或多元函數(shù)來(lái)說(shuō)都一樣。只不過(guò)若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無(wú)窮小，若是，則微分存在僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來(lái)的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連

3、續(xù)，則微分一定存在極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號(hào)，由二階微分的符號(hào)判斷。對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，二階微分的符號(hào)就是二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，對(duì)二元函數(shù)來(lái)說(shuō)，二階微分的符號(hào)可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。級(jí)數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項(xiàng)是否趨于零，若不趨于零則發(fā)散。若通項(xiàng)趨于零，看是否正項(xiàng)級(jí)數(shù)。若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)是常用來(lái)作比較的級(jí)數(shù)，若通項(xiàng)是連乘形式，考

4、慮用比值判別法，若通項(xiàng)是乘方形式，考慮用根值判別法。若不是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，取絕對(duì)值，考慮其是否絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂則必收斂。若絕對(duì)值不收斂，考察一般項(xiàng)，看是否交錯(cuò)級(jí)數(shù)，用萊布尼茲準(zhǔn)則判斷。若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，只能通過(guò)最根本的方法判斷，即看其前n項(xiàng)和是否有極限，具體問(wèn)題具體分析。比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究?jī)缂?jí)數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級(jí)數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū)域存在一個(gè)收斂半徑。所以對(duì)冪級(jí)數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解決。逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分不改變冪級(jí)數(shù)除端點(diǎn)外的區(qū)域的斂散性，端點(diǎn)情況復(fù)

5、雜，需具體分析。一個(gè)函數(shù)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開(kāi)后的冪級(jí)數(shù)能收斂于原來(lái)函數(shù)的條件是：余項(xiàng)（誤差）要隨著項(xiàng)數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開(kāi)中的結(jié)論一致。微分方程：不同種類(lèi)的方程有不同的常見(jiàn)解法，但理解上并無(wú)難處。下冊(cè)（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類(lèi)曲線積分、第一類(lèi)曲面積分都可以概率為一種類(lèi)型的積分，從物理意義上來(lái)理解是某個(gè)空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)計(jì)算第二類(lèi)曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第

6、二類(lèi)曲面積分的物理意義是流量在研究上述七類(lèi)積分的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)其實(shí)被積函數(shù)都是空間位置點(diǎn)的函數(shù)，于是把這種以空間位置作為自變量的函數(shù)稱(chēng)為場(chǎng)函數(shù)場(chǎng)函數(shù)有標(biāo)量場(chǎng)和向量場(chǎng)，一個(gè)向量場(chǎng)相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量場(chǎng)場(chǎng)函數(shù)在一點(diǎn)的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱(chēng)為梯度方向。梯度是一個(gè)向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個(gè)方向上的投影，所以梯度的模是方向?qū)?shù)的最大值梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無(wú)變化的方向，這兩者垂直梯度實(shí)際上一個(gè)場(chǎng)函數(shù)不均勻性的量度梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)變成向量場(chǎng)一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量

7、，它建立了第一類(lèi)曲線積分與第二類(lèi)曲線積分的聯(lián)系一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類(lèi)曲面積分和第二類(lèi)曲面積分的聯(lián)系物體在一點(diǎn)處的相對(duì)體積變化率由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的散度散度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成標(biāo)量場(chǎng)散度為零的場(chǎng)稱(chēng)為無(wú)源場(chǎng)高斯定理的物理意義：對(duì)散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場(chǎng)在邊界上的積分與速度場(chǎng)的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來(lái)無(wú)源場(chǎng)的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無(wú)

8、損失又無(wú)補(bǔ)充物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場(chǎng)決定，其值為速度場(chǎng)的旋度旋度運(yùn)算把向量場(chǎng)變成向量場(chǎng)旋度為零