中考復習-利用軸對稱性質求幾何最值

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1、技術資料軸對稱中幾何動點最值問題總結　　　軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯系的元素集中到“新的圖形”中，為應用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短?！〕踔须A段利用軸對稱性質求最值的題目可以歸結為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進行分析、討論?！　。?）兩點一線的最

2、值問題:（兩個定點+一個動點）問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側，在直線上求一動點的位置，使動點與定點線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個動點，解決這類題目的方法是找出任一定點關于直線的對稱點，連結這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。變異類型：實際考題中，經常利用本身就具有對稱性質的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。1.如圖,等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點,E是

3、AC邊上一點,若AE=2,EM+CM的最小值為()A．4B.8C.D.2.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數為（）A．15°B.22.5°C.30°D.45°共享知識技術資料3.如圖，Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是_____________.4.（2006?河南）如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC邊的中點

4、，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是_____________.5.如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,BE=2,AE=3BE,P是AC上一動點,則PB+PE的最小值是()A．B.C.D.106..（2009?撫順）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．2√3B.2√6C.3D.√6（1）一點兩線的最值問題:（兩個動點+一個定點）問題特征：已知一個定點位于平面內兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩

5、個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關于兩條線的對稱點，實現“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：例1：如圖6，接力賽場上，甲同學站在L1、L2兩條交叉跑道之間的任意一點A處，要將接力棒傳給站在L1跑道上的乙同學，乙同學要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學，丙同學跑回A處，試找出乙丙同學所站的最佳位置使比賽的路程最短。共享知識技術資料1.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的

6、最小值等于2，則α=（）A．30°B.45°C.60°D.90°2.如圖，∠AOB=30°，內有一點P且OP=，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么△PMN的周長最小為（）A．2√6B.6C.√6/2D.√63.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是____________4.在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是_________．共享知

7、識技術資料（1）兩點兩線的最值問題:（兩個動點+兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：例1　如圖4，河岸兩側有、兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：設橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到，線段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形

8、，，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。2．如圖，在直角坐標系中有線段AB，AB=50cm，A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm，B點到y(tǒng)軸的距離為30cm，現在在x軸、y軸上分別有動點P、Q，當四邊形PABQ的周長最短時，則這個值為（）A．50B.50√5C.50（√5-1）D.50（√5-