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《利用軸對稱性質(zhì)求幾何最值》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在應用文檔-天天文庫。
1、軸對稱中幾何動點最值問題總結 軸對稱的作用是“搬點移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短?！〕踔须A段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結為：兩點一線，兩點兩線，一點兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進行分析、討論?！ 。?）兩點一線的
2、最值問題:（兩個定點+一個動點）問題特征：已知兩個定點位于一條直線的同一側，在直線上求一動點的位置，使動點與定點線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個動點，解決這類題目的方法是找出任一定點關于直線的對稱點，連結這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。變異類型：實際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。 1.如圖,等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M
3、是AD上的動點,E是AC邊上一點,若AE=2,EM+CM的最小值為()A．4B.8C.D.-9-2.如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B.22.5°C.30°D.45°3.如圖，Rt△ABC中，AC=BC=4，點D，E分別是AB，AC的中點，在CD上找一點P，使PA+PE最小，則這個最小值是_____________.4.（2006?河南）如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90
4、°，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是_____________.-9-5.如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,BE=2,AE=3BE,P是AC上一動點,則PB+PE的最小值是()A．B.C.D.106..（2009?撫順）如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．2√3B.2√6C.3D.√6-9-（1）一點兩線的最值問題:（兩個動點+一個定點）問題特征：已知一個定點位于
5、平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最短。核心思路：這類問題實際上是兩點兩線段最值問題的變式，通過做這一定點關于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：例1：如圖6，接力賽場上，甲同學站在L1、L2兩條交叉跑道之間的任意一點A處，要將接力棒傳給站在L1跑道上的乙同學，乙同學要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學，丙同學跑回A處，試找出乙丙同學所站的最佳位置使比賽的路程最短。1.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是
6、OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于2，則α=（）A．30°B.45°C.60°D.90°2.如圖，∠AOB=30°，內(nèi)有一點P且OP=，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么△PMN的周長最小為（）A．2√6B.6C.√6/2D.√6-9-3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是____________4.在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動
7、點，則BM+MN的最小值是_________．（1）兩點兩線的最值問題:（兩個動點+兩個定點）問題特征：兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。變異類型：例1 如圖4，河岸兩側有、兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？-9- 解析：設橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到，線
8、段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形，，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。2．如圖，在直角坐標系中有線段AB，AB=50cm，A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm，B點到y(tǒng)軸的距離為30cm，現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動點P、Q，當四邊形PABQ的周長最短時，則這個值為（）A．50B.50√5C.50（√5-1）D.50（√5-1）3.(2010
