中考復(fù)習(xí)-利用軸對(duì)稱性質(zhì)求幾何最值

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1、軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)   軸對(duì)稱的作用是“搬點(diǎn)移線”,可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中,為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對(duì)稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè):(1)兩點(diǎn)之間線段最短;(2)三角形兩邊之和大于第三邊;(3)垂線段最短?!〕踔须A段利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為:兩點(diǎn)一線,兩點(diǎn)兩線,一點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對(duì)三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。 ?。?)兩點(diǎn)一線的最值問題:(兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn))問題特征:

2、已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè),在直線上求一動(dòng)點(diǎn)的位置,使動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)線段和最短。核心思路:這類最值問題所求的線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn),解決這類題目的方法是找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn),交直線于一點(diǎn),交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。變異類型:實(shí)際考題中,經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形,比如等腰三角形,等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形,即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,EM+CM的最小值為()A.4B.8C.D.2

3、.如圖,等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4,AD是BC邊上的中線,F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí),則∠ECF的度數(shù)為()A.15°B.22.5°C.30°D.45°3.如圖,Rt△ABC中,AC=BC=4,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),在CD上找一點(diǎn)P,使PA+PE最小,則這個(gè)最小值是_____________.4.(2006?河南)如圖,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊的中點(diǎn),E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),則EC+ED的最小值是_____________.5.如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),B

4、E=2,AE=3BE,P是AC上一動(dòng)點(diǎn),則PB+PE的最小值是()A.B.C.D.106..(2009?撫順)如圖所示,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為()A.2√3B.2√6C.3D.√6(1)一點(diǎn)兩線的最值問題:(兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+一個(gè)定點(diǎn))問題特征:已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間,分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最短。核心思路:這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式,通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn),實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”,把線段“移”到同一直線上來解

5、決。變異類型:例1:如圖6,接力賽場(chǎng)上,甲同學(xué)站在L1、L2兩條交叉跑道之間的任意一點(diǎn)A處,要將接力棒傳給站在L1跑道上的乙同學(xué),乙同學(xué)要將接力棒傳給站在L2跑道上的丙同學(xué),丙同學(xué)跑回A處,試找出乙丙同學(xué)所站的最佳位置使比賽的路程最短。1.如圖,已知∠AOB的大小為α,P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn),且OP=2,點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),若△PEF周長(zhǎng)的最小值等于2,則α=()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如圖,∠AOB=30°,內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=,若M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn),那么△PMN的周長(zhǎng)最小為()A.2√6B.6C.√6/2

6、D.√63.如圖,在△ABC中,∠C=90°,CB=CA=4,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,若點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn),則CQ+PQ的最小值是____________4.在銳角三角形ABC中,AB=4,∠BAC=60°,∠BAC的平分線BC于D,M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是_________.(1)兩點(diǎn)兩線的最值問題:(兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn))問題特征:兩動(dòng)點(diǎn),其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)(一個(gè)主動(dòng),一個(gè)從動(dòng)),并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。核心思路:用平移方法,可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn),轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來解。變異類型:例1 如

7、圖4,河岸兩側(cè)有、兩個(gè)村莊,為了村民出行方便,計(jì)劃在河上修一座橋,橋修在何處才能兩村村民來往路程最短?                    解析:設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為、,那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動(dòng),等于河寬,且垂直于河岸。將向上平移河寬長(zhǎng)到,線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四邊形,,此時(shí)值最小。那么來往、兩村最短路程為:。2.如圖,在直角坐標(biāo)系中有線段AB,AB=50cm,A、B到x軸的距離分別為10cm和40cm,B點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為30cm,現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動(dòng)點(diǎn)P、Q,當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)最短時(shí),則這個(gè)值為()A.50B.50√5C.50(√

8、5-1)D.50(√5-1)3.(2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中,矩形的

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