利用向量巧解中學(xué)數(shù)學(xué)題

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1、利用向量巧解中學(xué)數(shù)學(xué)題（數(shù)學(xué)哥搜集整理）利用向量巧解中學(xué)數(shù)學(xué)題目錄1.前言……………………………………………………………………………22.向量基本性質(zhì)回顧……………………………………………………………33.向量巧解空間幾何中的問題…………………………………………………53.1向量巧解角的問題………………………………………………………53.1.1求異面直線a與b所成角θ………………………………………53.1.2求線面所成角θ……………………………………………………73.1.3求二面角的大小…………

2、…………………………………………83.2向量巧解距離問題………………………………………………………93.2.1求點(diǎn)到平面的距離…………………………………………………93.2.2求兩異面直線的距離………………………………………………103.3向量巧解平行與垂直的問題……………………………………………113.3.1平行………………………………………………………………113.3.2垂直………………………………………………………………124.向量巧解平面解析幾何中的問題……………………………………………

3、…124.1平面幾何……………………………………………………………………124.2解析幾何……………………………………………………………………135.向量巧解復(fù)數(shù)的問題……………………………………………………………146.向量巧解三角函數(shù)的問題………………………………………………………157.向量巧解其他代數(shù)問題…………………………………………………………167.1求最值……………………………………………………………………167.2求取值范圍………………………………………………………………177

4、.3解方程……………………………………………………………………177.4代數(shù)求值…………………………………………………………………177.5證明等式…………………………………………………………………177.6解不等式…………………………………………………………………187.7代數(shù)式……………………………………………………………………197.8數(shù)列………………………………………………………………………198.結(jié)束語…………………………………………………………………………191.前言隨著新課改逐步深

5、入，向量及其運(yùn)算成為高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容，它融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，常與函數(shù)、復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面幾何、立體幾何和平面解析幾何等方面內(nèi)容交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題情境新穎別致，自然流暢，令人賞心悅目。能夠靈活和綜合應(yīng)用向量法思維解決數(shù)學(xué)中的問題，對(duì)于我們拓展解題思路、提高解決效率、掌握解題技巧等方面起到了很好的直觀幫助。2.向量基本性質(zhì)回顧1.向量的概念　既有方向又有大小的量叫做向量（物理學(xué)中叫做矢量），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中叫做標(biāo)量）

6、。2.向量的幾何表示　　具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作。（AB是印刷體，書寫體是上面加個(gè)→）　　有向線段的長度叫做向量的模，記作

7、

8、。　　有向線段包含3個(gè)因素：起點(diǎn)、方向和長度。長度等于0的向量叫做零向量，記作。零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都垂直。長度等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。3.相等向量與共線向量　　長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，記作//，零向量與任意向量平行，即//。10利用向

9、量巧解中學(xué)數(shù)學(xué)題（數(shù)學(xué)哥搜集整理）任意一組平行向量都可移到同一直線上，因此平行向量也叫共線向量。4.向量的運(yùn)算　　4.1加法運(yùn)算　　＋＝，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，指向終點(diǎn)）　　已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量、，以、為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是向量、的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量，有：＋＝＋＝。

10、＋

11、≤

12、

13、＋

14、

15、。　　向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。　　4.2減法運(yùn)算　　與長度相等，方向相反的向量，叫做的相

16、反向量，－(－)＝，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）＋(－)＝(－)＋＝0（2）－＝＋(－)　　4.3數(shù)乘運(yùn)算　　實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λ，

17、λ

18、＝

19、λ

20、

21、

22、，當(dāng)λ>0時(shí)，λ的方向和的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λ的方向和的方向相反，當(dāng)λ=0時(shí)，λ=0。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)=λ(μ)（2）(λ+μ)=λ+μ（3）λ(±)=λ±λ（4）(－λ)=－(λ)=λ(－)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。5.向量的數(shù)量積　　已知兩個(gè)非零向量、