中學(xué)數(shù)學(xué)難題向量巧解

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1、利用向量巧解中學(xué)數(shù)學(xué)題摘要：向量是溝通代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容的橋梁之一，利用向量解決一些數(shù)學(xué)問題，將大大簡(jiǎn)化解題的步驟，使學(xué)生多掌握一種行之有效的數(shù)學(xué)工具。本文首先回顧了向量的一些基本性質(zhì)，接著分別從空間幾何，平面解析幾何、不等式、最值問題，以及其他一些數(shù)學(xué)問題總結(jié)歸納向量在解決一系列數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，并舉例說明使用向量更加快捷直觀地解決一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.關(guān)鍵字：向量；向量法應(yīng)用；數(shù)學(xué)題；解題方法Abstract:Thispaperlooksbacksomebasicpropertiesof

2、vectoratfirst,andthensummarizingandinducingvector’sapplicationinaseriesofmathematicsproblemsineveryaspect(Spacegeometry,Flatsurfaceanalyticgeometry,MaximumandMinimum,Inequalityandsomethingothermathematicsproblems),andillustratingthemwithexamples,itwi

3、llbefastertoworkoutsomedifferentmathematicsproblemsbyusingvector.Keywords:Vector；Vector’sapplication；Mathematicalproblem；Solutingmethod目錄191.前言隨著新課改逐步深入，向量及其運(yùn)算成為高中數(shù)學(xué)新增內(nèi)容，它融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，常與函數(shù)、復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面幾何、立體幾何和平面解析幾何等方面內(nèi)容交叉滲透，使

4、數(shù)學(xué)問題情境新穎別致，自然流暢，令人賞心悅目。能夠靈活和綜合應(yīng)用向量法思維解決數(shù)學(xué)中的問題，對(duì)于我們拓展解題思路、提高解決效率、掌握解題技巧等方面起到了很好的直觀幫助。2.向量基本性質(zhì)回顧1.向量的概念　既有方向又有大小的量叫做向量（物理學(xué)中叫做矢量），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理學(xué)中叫做標(biāo)量）。2.向量的幾何表示　　具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作。（AB是印刷體，書寫體是上面加個(gè)→）　　有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作

5、

6、。　　有向線段包含3個(gè)因素：起點(diǎn)、

7、方向和長(zhǎng)度。長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作。零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都垂直。長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。3.相等向量與共線向量　　長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量、平行，記作//，零向量與任意向量平行，即//。任意一組平行向量都可移到同一直線上，因此平行向量也叫共線向量。4.向量的運(yùn)算　　4.1加法運(yùn)算19　　＋＝，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，指向終點(diǎn)）　　已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量、，

8、以、為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是向量、的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量，有：＋＝＋＝。

9、＋

10、≤

11、

12、＋

13、

14、?！　∠蛄康募臃M足所有的加法運(yùn)算定律?！　?.2減法運(yùn)算　　與長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，－(－)＝，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）＋(－)＝(－)＋＝0（2）－＝＋(－)　　4.3數(shù)乘運(yùn)算　　實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λ，

15、λ

16、＝

17、λ

18、

19、

20、，當(dāng)λ>0時(shí)，λ的方向和的方向相同，當(dāng)λ<

21、0時(shí)，λ的方向和的方向相反，當(dāng)λ=0時(shí)，λ=0。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)=λ(μ)（2）(λ+μ)=λ+μ（3）λ(±)=λ±λ（4）(－λ)=－(λ)=λ(－)。向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。5.向量的數(shù)量積　　已知兩個(gè)非零向量、，那么

22、

23、

24、

25、cosθ叫做與的數(shù)量積或內(nèi)積，記作，θ是與的夾角，

26、

27、cosθ（

28、

29、cosθ）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0?！　〉膸缀我饬x：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度

30、

31、與在的方向上的投影

32、

33、cosθ的乘積。19　

34、　兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和?！　∠蛄康臄?shù)量積的性質(zhì)(1)=

35、

36、≥0(2)=(3)==(4)=+(5)=?⊥6.平面向量的基本定理如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ，使=λ＋μ。7.空間向量的基本性質(zhì)7.1共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量、（≠），∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使=λ7.2共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使=x+y7.3向量的數(shù)量積=cos<,>7.4數(shù)量積的性質(zhì)⊥=

37、

38、