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《利用向量與復(fù)數(shù)巧解旋轉(zhuǎn)問題》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、2015年第3期數(shù)學(xué)教學(xué)3—31利用向量與復(fù)數(shù)巧解旋轉(zhuǎn)問題430079華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心彭翕成復(fù)數(shù)Z=a+bifa、b∈R1與復(fù)平面上的l點z(n,6)一一對應(yīng),而點Z(a,b)與向量(二)2一一對應(yīng),可以將zb)和0都看成是復(fù)數(shù)Z=a+bi的幾何形式./從向量的發(fā)展歷史來看,向量能夠進(jìn)入數(shù)圖2學(xué)并得以發(fā)展,復(fù)數(shù)在其中出力不少.復(fù)數(shù)幾何表示的提出,既使得“虛幻”的復(fù)數(shù)有了實際定義:O.(cos+i8in)是指以點(二)為的模型,不再虛幻;又使得人們在逐步接受復(fù)旋轉(zhuǎn)中心,將OP逆時針旋轉(zhuǎn)所得
2、的向量.?dāng)?shù)的同時,學(xué)會利用復(fù)數(shù)來表示和研究平面中特別地,(=).i為以點0為中心,將0P逆時針的向量,向量從此得到發(fā)展.旋轉(zhuǎn)90。所得的向量;發(fā)展至今天的向量,如果與復(fù)數(shù)再度攜手,通常記ei=COS+isin,容易驗證e又能在哪些方面有所作為呢?.ei:ei(Q+.有不少資料在介紹復(fù)數(shù)的時候,總強(qiáng)調(diào)數(shù)下面結(jié)合案例說明.其基本思路是將一個學(xué)家引入復(fù)數(shù)的目的是為了使得X+1=0有向量分解,將分解后的向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn),最后再解.其實,從數(shù)學(xué)史來看,數(shù)學(xué)家原來認(rèn)為組合.這樣的作法是可以轉(zhuǎn)化成歐氏幾何中的像+1=0這樣的方程是
3、無解的,也沒想到圖形全等和旋轉(zhuǎn)的,只是用向量表述更加簡便.過引入復(fù)數(shù),直到解三次方程時,才被迫引入更詳細(xì)的論述和案例可參看《向量、復(fù)數(shù)與質(zhì)了新的虛數(shù)單位.這是因為數(shù)學(xué)崇尚簡單,主點》.張:如無必要,莫增實體!例1如圖3,平面上有正AABC和正在教學(xué)中,由于教科書之前過多強(qiáng)調(diào)一個△A1B1,邊BC和邊B1C1有相同中點(二).?dāng)?shù)的平方非負(fù),所以當(dāng)引入虛數(shù)單位i的時候,求證:AAI~BB1,且AA1=v/3BB1.很多學(xué)生覺得難以接受.為了說明i2:一1這證明:A1A·i=(A1o+oA)·i=v~(clO+———一
4、一————_———————-,————_7—————7一—一一基本性質(zhì)并不神秘,可以將i解釋為“向左oo)=、/3C=x/~BB】.C1C=BB1是因轉(zhuǎn)”.“左轉(zhuǎn)兩番朝后方”是眾所周知的常識,就為對角線相互平分,四邊形C1CBIB是平行四這樣,把復(fù)數(shù)與旋轉(zhuǎn)聯(lián)系起來.邊形.也可構(gòu)造模型來幫助理解i2=一1.直角三角形中的射影定理(圖1)是大家熟悉的,若C_i-B,CD上B,則Dz=DA.DB.如果將這模型與坐標(biāo)平面聯(lián)系起來(圖2),不就成了=f一11.1=一1了么?圖3例2如圖4,平面上的三個正方形ABCD、A1B
5、1C1D1和A2B2C2D2,頂點和圖13—32數(shù)學(xué)教學(xué)2015年第3期1、C和分別重合,M是B1B2的中點.求證:D1D2上口M,DID2=2BM.證明:D2D1·i=(J[)2C+CB+B+D1)·i:B2C+AB+CJE;+B1A=B2B+BIB=2.圖7例6平面上有兩個等邊三角形1B1、A2B2,它們的頂點都按順時針方向標(biāo)注.C由平面上一點0引出向量(二)、(二)臺、(二),使D它們分別等于12、UlB2、C1C2.證明:圖4△AB是等邊三角形.證明:A.e號=fAO+OC1.e虧=例3如圖5,四邊形AB
6、CD繞點《二)逆(A2A1+C1c2)·e虧=(2—A1C1)·e虧=時針旋轉(zhuǎn)90。得到四邊形JE}CJ[),設(shè)點A2B2一AtB1=A2A1+B1B2=A0+0B=P、Q、R、分別是B、B、CJ[)、A舀,故△A召是等邊三角形.的中點.求證:PR~QS,PR=QS.證明:20S.i:fCA+BD).i=+D—B:2.圖8圖5例7如圖8,兩兩具有公共頂點的正三角形ABC、CDE和E日K(頂點均按逆時針方例4如圖6,在正方形ABCfD的邊上作向排列),且A19=D.證明△BHD是正三正△BF、△BE.求證:EF:A
7、C.角形.證明:A—C’.e虧一:(B+B——?!狢一1.e號·=證明:K5.e爭:.e爭:(Dd+1e§i:E—C+C—B:E—BEB+BF=EF...虧=+:,動日D.e吾ii:=fH積+IfD).e51:蔬+E—B:碭,故ABHD是正三角形.圖6這比去證△JE}F△A召顯得更加直接、順暢.例5如圖7,在四邊形ABD的邊上分圖9別向外作正方形,四個正方形的中心分別為點、F、G、H.求證:四邊形ABD和四例8如圖9,分別以平行四邊形BD邊形EFG日的對角線的中點構(gòu)成一個正方形,的邊為邊長向形外作四個正三角形:△
8、AEJE}、即t,,是正方形.△BF、△GD、△H.求證:AE、EF、證明:2KJ.i=fEB+GD1.i=E+GF、G、G日、日的中點是正六邊形的六一2,其他鄰邊也是如此命題得證.個頂點.2015年第3期數(shù)擎數(shù)學(xué)3-33證明:設(shè)A、F、FC的中點分別為點例11如圖l2,以△ABC的AB、AC為X、Y、Z,則2xf.e§i:.e吾i:(A/3+邊向外作兩個等邊三角形BD、