函數(shù)的單調(diào)性與最值

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1、函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識要點】一、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果對于定義域D內(nèi)某個區(qū)間I上的任意兩個自變量x1,x2，改變量⊿x=x2-x1>0當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的（2）單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上

2、具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間I叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間。注：①單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間②函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上是在某一區(qū)間上是上升的或下降的。相關(guān)提示：①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是該函數(shù)定義域的子集函數(shù)的定義域不一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。②如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增（減）函數(shù)，不能說這個函數(shù)在定義域上是增（減）函數(shù)，如函數(shù)③兩個增（減）函數(shù)的和函數(shù)仍是增（減）函數(shù)，但兩個增函數(shù)的差、積、商的函數(shù)單調(diào)性不確定，同樣兩個減函數(shù)的差、積、商的函數(shù)單調(diào)性也不確定。二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，

3、如果存在實數(shù)M、N滿足11條件①對于任意x∈D，都有f(x)≤M②存在x0∈D，使得f(x0)=M①對于任意x∈D，都有f(x)≥N②存在x0∈D，使得f(x0)=N結(jié)論注：函數(shù)的最小值與最大值分別是函數(shù)值域中的最小元素與最大元素；任何一個函數(shù)，其值域必定存在，但其最值不一定存在。三、函數(shù)的有界和無界前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)A、B滿足條件對于任意x∈D，都有f(x)≤B對于任意x∈D，都有f(x)≥A結(jié)論B為A為【例與練】：一、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〖例1〗（1）函數(shù)f(

4、x)=2x+1的單調(diào)區(qū)間是______，f(x)=的單調(diào)增區(qū)間是______.(2)判斷并證明函數(shù)在(-1，+∞)上的單調(diào)性.【邊聽邊記】本例為判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性去判斷；(2)可用定義法.解：〖例2〗求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思路分析：該函數(shù)整體來說是一個二次根式，首先11要考慮被開方數(shù)大于等于零，在此基礎(chǔ)上求被開方函數(shù)的單調(diào)性即可．解：．【小結(jié)】1、用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟，即：（1）取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1

5、f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形。（3）定號：根據(jù)給定的區(qū)間和x2-x1符號，確定差f(x2)–f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符號。當(dāng)符號不確定時，可以進行分類討論。（4）判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論。2、求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法（1）能畫出圖象的函數(shù)，用圖象法,其思維流程為:（2）由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合運算構(gòu)成的函數(shù)，用轉(zhuǎn)化法，其思維流程為：（3）能作差變形的用定義法，其思維流程為：注：函數(shù)的單調(diào)

6、性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制。例如函數(shù)y=1/x在11內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個定義域即內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即增加到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，不能用“∪”二、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性可求解的問題(1)由x1,x2的大小，可比較f(x1)與f(x2)的大??；(2)知f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系，可得x1與x2的大小關(guān)系；(3)求解析式中參數(shù)的值或取值范圍；(4)求函數(shù)的最值；(5)得到圖象的升、降情況，畫出函數(shù)圖象的大致形狀.2．例題解析〖例1〗若f(x)為R上的增函數(shù)

7、，則滿足f(2-m)f(h(x))”的形式，再利用單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式求解，但要注意函數(shù)的定義域.2.比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于選擇、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.〖例2〗已知f(x)對于任意a，b∈R,總有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x＞0時，f(x)＞1

8、．(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3；(3)若關(guān)于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)＜2恒成立，求實數(shù)n的取值范圍．【解析】(1)設(shè)x1,x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1>0，∴f(x2-x1)＞1，f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0,11∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x