全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題

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1、智浪教育—普惠英才文庫全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（一）第一試一、選擇題：（每小題6分，共36分）1、方程6×(5a2＋b2)＝5c2滿足c≤20的正整數(shù)解(a,b,c)的個數(shù)是（A）1（B）3（C）4（D）52、函數(shù)（x∈R，x≠1）的遞增區(qū)間是（A）x≥2（B）x≤0或x≥2（C）x≤0（D）x≤或x≥3、過定點P(2,1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB（O為原點）的面積最小，則l的方程為（A）x＋y－3＝0（B）x＋3y－5＝0（C）2x＋y－5＝0（D）x＋2y－4＝04、若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在上有兩個不

2、同的實數(shù)解x，則參數(shù)a的取值范圍是（A）0≤a＜1（B）－3≤a＜1（C）a＜1（D）0＜a＜15、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項是（A）42（B）45（C）48（D）516、在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，滿足條件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的個數(shù)是（A）8（B）10（C）14（D）16二、填空題：（每小題9分，共54分）1、[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則方程×[x2＋x]＝19x＋99的實數(shù)解x是．2、設a1＝1，an+1＝2an＋n2

3、，則通項公式an＝．3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是．4、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，則cosC＝．5、設k、q是實數(shù)，使得關于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的兩個根為sinq和cosq，則q的取值范圍是．6、數(shù)（n∈N）的個位數(shù)字是．三、（20分）第5頁共5頁智浪教育—普惠英才文庫已知x、y、z都是非負實數(shù)，且x＋y＋z＝1．求證：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并確定等號成立的條件．一、（20分）（1）求出所有的實數(shù)a，使得關于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝

4、0的兩根皆為整數(shù)．（2）試求出所有的實數(shù)a，使得關于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三個整數(shù)根．二、（20分）試求正數(shù)r的最大值，使得點集T＝{(x,y)

5、x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一個點集S＝{(x,y)

6、x、y∈R，且對任何q∈R，都有cos2q＋xcosq＋y≥0}之中．第二試第5頁共5頁智浪教育—普惠英才文庫一、（50分）設a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是復數(shù)，且z2－(a－c)z－b＝0．求證：的充分必要條件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）ACBDQKP如圖，在△ABC

7、中，∠ABC和∠ACB均是銳角，D是BC邊上的內點，且AD平分∠BAC，過點D分別向兩條直線AB、AC作垂線DP、DQ，其垂足是P、Q，兩條直線CP與BQ相交與點K．求證：（1）AK⊥BC；（2），其中表示△ABC的面積．三、（50分）給定一個正整數(shù)n，設n個實數(shù)a1,a2,…,an滿足下列n個方程：．確定和式的值（寫成關于n的最簡式子）．第5頁共5頁智浪教育—普惠英才文庫參考答案第一試一、選擇題：題號123456答案CCDABD二、填空題：1、或；2、7×2n-1－n2－2n－3；3、343；4、；5、{q

8、q＝2np＋p或2np－，n∈Z

9、}；6、1（n為偶數(shù)）；7（n為奇數(shù)）．三、證略，等號成立的條件是或或或．四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9．五、rmax＝．第二試一、證略（提示：直接解出，通過變形即得充分性成立，然后利用反證法證明必要性）．二、證略（提示：用同一法，作出BC邊上的高AR，利用塞瓦定理證明AR、BQ、CP三線共點，從而AK⊥BC；記AR與PQ交于點T，則＝AR＞AT＞AQ＝AP，對于AK＜AP，可證∠APK＜∠AKP）．第5頁共5頁智浪教育—普惠英才文庫三、

10、．第5頁共5頁