原點(diǎn)矩及中心矩

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1、第10講原點(diǎn)矩與中心矩協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學(xué)目的：掌握矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)及計(jì)算。教學(xué)重點(diǎn)：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念。教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí)教學(xué)過(guò)程：第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§3.3原點(diǎn)矩與中心矩隨機(jī)變量的數(shù)字特征除了數(shù)學(xué)期望和方差外，為了更好的描述隨機(jī)變量分布的特征，有時(shí)還要用到隨機(jī)變量的各階矩（原點(diǎn)矩與中心矩），它們?cè)跀?shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要的應(yīng)用。定義1設(shè)是隨機(jī)變量，若存在，則稱它為的階原點(diǎn)矩，記作，即，顯然，一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，即。定義2設(shè)隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望存在，則稱為的階中心矩，記作，即，易知，一階中心矩恒等于零，即；二階中心

2、矩就是方差，即。不難證明，原點(diǎn)矩與中心矩之間有如下關(guān)系：5等。定義3設(shè)和是隨機(jī)變量，若存在，則稱它為和的階混合矩。若存在，則稱它為和的階混合中心矩。§3.4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征中最常用的就是協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。定義3設(shè)有二維隨機(jī)變量，如果存在，則稱為隨機(jī)變量與的協(xié)方差，記作，即而稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，記作，即顯然，協(xié)方差是和的二階混合中心矩。當(dāng)，通常稱隨機(jī)變量與是不相關(guān)的。2.協(xié)方差的性質(zhì)(1)，由定義知性質(zhì)（1）是顯然的。(2)證(3)5證該性質(zhì)可推廣到任意場(chǎng)合，即(4)，是常數(shù)。由定義知性質(zhì)（4）是顯然的。(5)由定義知性質(zhì)（5）是顯然的

3、。(6)若與相互獨(dú)立，則，即與不相關(guān)。反之，若與不相關(guān)，與不一定相互獨(dú)立。3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)若與相互獨(dú)立，則(3)當(dāng)且僅當(dāng)與之間存在線性關(guān)系（為常數(shù)，）時(shí)，，且。證對(duì)于性質(zhì)（1），我們考慮隨機(jī)變量，由協(xié)方差的性質(zhì)（3）可得故對(duì)于性質(zhì)（2），由于與相互獨(dú)立，則有，由定義知。對(duì)于性質(zhì)（3），若，則，，5即，事實(shí)上相關(guān)系數(shù)只是隨機(jī)變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱的一個(gè)度量，當(dāng)時(shí)說(shuō)明隨機(jī)變量與之間具有很強(qiáng)的線性關(guān)系，當(dāng)時(shí)為正線性相關(guān)，時(shí)為負(fù)線性相關(guān)。當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量與之間的線性相關(guān)程度將隨著的減小而減弱，當(dāng)時(shí)，意味著隨機(jī)變量與是不相關(guān)的。例1設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，又，試求相關(guān)系數(shù)。解故相關(guān)系數(shù)

4、，隨機(jī)變量與不相關(guān)，但是有，從而與不獨(dú)立。例2設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布如下：01-101/301/30101/35試證明與不相關(guān)，但不相互獨(dú)立。證易知與的邊緣概率分布分別是：011/32/3-1011/31/31/3由公式得所以與是不相關(guān)的。但是，因?yàn)?，，故與不相互獨(dú)立。例3設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為試證明隨機(jī)變量與不相關(guān)，也不相互獨(dú)立。證由于關(guān)于軸、軸對(duì)稱，故因而，即與不相關(guān)。又由于，顯然在上，，所以與不相互獨(dú)立。5