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1、第五講 振動與波一、競賽中涉及的問題（一）簡諧運動1．任何機械運動都可用數(shù)學(xué)方法分解成一系列簡諧運動，簡諧運動是最基本的機械振動，簡諧運動的動力學(xué)特點：物體所受回復(fù)力與位移反向，大小與位移成正比，即：F=－kx。運動學(xué)特點；位移可用時間的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)表示。例1．判斷下列各物體的振動是否簡諧運動Oxx0(1)2xox（5）xOxθ光滑斜面（2）（3）mOO1MxAOx（4）OBAPtPoωωtxO1vxy其中，（3）是質(zhì)量均勻的地球通道中的小球，（4）為浮于水面上的木塊，（5）為兩端開口U型管中的液面A。2．運動規(guī)律和參考圓用初等數(shù)學(xué)方法，不能得出簡諧運動
2、物體的V、a變化規(guī)律，采用參考圓卻能有效解決此問題，任何一個簡諧振動，都可看作某一個作勻速圓周運動的參考點在某一直徑上的投影的運動，這種想象中的參考點的運動軌跡—參考圓，參考圓半徑為A，即為簡諧運動物體的振幅，如圖，O為振體m的平衡位置，t=0時，x=x0，Vx=V0,相應(yīng)物在A點，參考圓位置的P0點，t時刻，在Pt點（B點），由圖得mmCBxho(b)mmKCB(a)x（1）位移x=Acos(ωt+φ0),（2）速度Vx（3）加速度，其中，是初相角，回復(fù)力（4）振幅A—振體離開平衡位置的最大距離，由初始條件t=0時，代入x、vx表達式中，得，解之得A=位相，
3、決定振體運動的狀態(tài)的變量，是t=0時的初相角N·B！上述方程的原點均取在振體的靜平衡位置。(b)mmBCkmmkCB例2：試求下圖所示系統(tǒng)的振幅A及初位相，（a）中C與B中吊繩靜止時斷開，（b第10頁）中將物B無初速地放在物C上。3．簡諧運動的圓頻率，頻率與周期（1）圓頻率即x、vx、ax表達式中的，由F=－kx=mk1k2k3(c)（2）周期T，T=。（3）頻率Amk1k2(b)1k2(a)例3，如圖（a）將勁度系數(shù)為k的彈簧，按其原長1∶2截斷為兩根，求由它們組成的(a),(b)兩系統(tǒng)的周期，圖C中，振動系統(tǒng)的周期又是多少？例4：物體質(zhì)量m，用彈簧懸吊于長
4、為b的輕質(zhì)桿上，K1、K2已知,長度a,b已知，求系統(tǒng)振動周期。ak2k1omx例5：求下圖(a)－(d)中系統(tǒng)振動周期，(a)，(b)斜面光滑(D)B60oαoCAABm2LLCo(C)30o30oLmoα(b)Lmα(a)(c)中AC、BC為兩細線,m在垂直于紙面的平面內(nèi)擺動，（d）中△ABC為等邊△，每邊桿長L，質(zhì)量不計。4．簡諧運動規(guī)律的求解解題思路：（1）判斷振體作簡諧振動；（2）取物體靜平衡位置為坐標(biāo)原點，直接寫出規(guī)律，如（3）求，（4）確定初始條件，A、。5.代入運動方程求解。例6：如圖，質(zhì)量均為m的兩物用線繩相連，懸于K1，K2兩彈簧上，k2k
5、1m求繩斷后，剩下物體的運動規(guī)律。mkMmhkx例7．如圖，M=2kg，k=100N/m，光滑水平面，t=0時，x0=10cm，v0=0，h=1cm高處有一質(zhì)量m=0.4kg的小物下落，當(dāng)M沿x軸負向通過平衡位置時，小物恰落在M上且無反彈，試求此后兩物體一起第10頁運動的規(guī)律。（二）振動能量與共振1．簡諧振動中的能量。彈簧振子動能，振子的瞬間勢能，總能量，可見，簡諧振動物體機械能守恒，振子通過平衡位置時，Ep=0，Ek最大，通過極端位置時，Ek=0,Ep最大，例8：彈簧振子勁度系數(shù)為k，振動物質(zhì)量為m，t=0時，x=x0，vx=v0,求A、。2．阻尼振動，簡諧
6、振動機械能守恒，一旦開始，就永不停止，是理想狀況，實際振動，因有摩擦，振動總是減弱以致最后停下，這種振幅逐漸減小的運動—阻尼振動。對于一定的振動物體，有阻尼要比無阻尼時，周期長些，陰尼越大，周期越長。k1cmx例9：如圖，勁度系數(shù)為k=250g/cm的彈簧一端固定，另一端連接一質(zhì)量為30g的物塊，置于水平面上，摩擦因數(shù)，現(xiàn)將彈簧拉長1cm后由靜止釋放，求（1）物塊獲得的最大速度；（2）物塊經(jīng)過彈簧原長位置幾次后才停止運動？3．受迫振動，物體在周期性外力（策動力）作用下的振動叫受迫振動。受迫振動的頻率等于策動力的頻率，而與物體固有頻率無關(guān)，當(dāng)策動力頻率與物體固有
7、頻率相等時，受迫振動的振幅最大，這種現(xiàn)象稱為共振，策動力頻率與物體固有頻率越接近，受迫振動振幅越大。（三）機械波1．機械波，橫波與縱波。機械振動在介質(zhì)中的傳播叫機械波，波傳播的是振動形式和能量，質(zhì)點并未發(fā)生遷移，橫波一質(zhì)點振動方向與波傳播方向垂直?？v波一質(zhì)點振動方向與波的傳播方向在一直線上。固體中可以同時有橫波與縱波，氣體中一般只有縱波存在。2．波長、頻率與波速，定義（略）關(guān)系，注意：波速不同于運動質(zhì)點的速度。vy第10頁3．平面簡諧波的波動方程及圖象，平面簡諧振動在一個方向上的傳播叫簡諧波，如圖，O點的振動方程為，在x軸上任OPx一點P比O的振動滯后，∴P點
8、振動方程為：，這就是波動方程，可描述平
