哥德巴赫猜想

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1、哥德巴赫猜想兩百多年前，彼得堡科學(xué)院院士哥德巴赫曾研究過“將一個數(shù)表示成幾個素?cái)?shù)的和”的問題，他取了很多數(shù)做試驗(yàn)，想把它們分解成幾個素?cái)?shù)的和，結(jié)果得到一個斷語：“總可將任何一個數(shù)分解成不超過三個素?cái)?shù)之和．”但是哥德巴赫不能證明這個問題，甚至連如何證明的方法也沒有，于是他寫信給另一名彼得堡科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家歐拉，他在1742年6月7日的信中寫道：“我想冒險發(fā)表下列假定‘大于5的任何數(shù)都是三個素?cái)?shù)的和’．”這就是后來舉世聞名的哥德巴赫猜想．同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中說：“我認(rèn)為‘每一個偶數(shù)都是兩個素?cái)?shù)之和’，雖然我還不能證明它，但我確信這個論斷是完全正確

2、的．”　　這兩個數(shù)學(xué)家的通信內(nèi)容傳播出來之后，人們就稱這個猜想為哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-歐拉猜想．　　完整地說，哥德巴赫猜想是：大于1的任何數(shù)都是三個素?cái)?shù)的和．　　后來，人們把它歸納為：　　命題A：每一個大于或者等于6的偶數(shù)，都可以表示為兩個奇素?cái)?shù)的和；　　命題B：每一個大于或者等于9的奇數(shù)，都可以表示為三個奇素?cái)?shù)的和．例如：　　50=19+31；51=7+13+31；　　52=23+29；53=3+19+31．　　或50=3+47=7+43=13+37=19+31等．　　1900年，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家會議上提出了國際數(shù)學(xué)要研究的23個題目(后被稱為

3、希爾伯特問題)，其中哥德巴赫猜想命題A與另外兩個有關(guān)問題一起，被概括成希爾伯特第8問題．這是著名的世界難題．　　1912年，第五屆國際數(shù)學(xué)家會議上，著名數(shù)論大師蘭道發(fā)言說，有四個數(shù)論上的問題是當(dāng)時的科學(xué)水平不能解決的，其中一個是哥德巴赫猜想，即使把它改為較弱的命題：不論是不超過3個，還是不超過30個，只要證明存在著這樣的正數(shù)C，而能使每一個大于或等于2的整數(shù)，都可以表示為不超過C個素?cái)?shù)之和”(稱為命題C)，也是當(dāng)代數(shù)學(xué)家力所不能及的．　　1921年，著名數(shù)論大師哈代，在哥本哈根召開的國際數(shù)學(xué)會議上說，哥德巴赫猜想的困難程度，可以與任何沒有解決的數(shù)學(xué)問題相比，是極其困難

4、的，但是他沒有說是不可能的．　　事情出乎意料，哥德巴赫猜想問題的解決出現(xiàn)了一些轉(zhuǎn)機(jī)，堅(jiān)不可摧的哥德巴赫堡壘正在逐個被攻破．　　1930年，25歲的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家列夫·格里高維奇·西涅日爾曼(1905—1938)，用他創(chuàng)造的“正密率法”證明了蘭道認(rèn)為當(dāng)代數(shù)學(xué)家力所不能及的命題C，還估算出這個數(shù)C不會超過S，并算出S≤800000．人們稱S為西涅日爾曼常數(shù)．這是哥德巴赫猜想的第一個重大突破，可惜這位天才數(shù)學(xué)家只活了33歲．　　1930年以后，數(shù)學(xué)家蘭道、羅曼諾夫、赫力邦、李奇等對西涅日爾曼方法作了最準(zhǔn)確的分析，競相縮小S的估值，到1937年，得到S≤67，又是一大進(jìn)步．　　重

5、要的是，不論一個數(shù)是多么大，都可將它分解成素?cái)?shù)的和的問題已被證明了，如對于數(shù)835042000000000000000000000或者對于我們已知的999(這個數(shù)之大可以寫出來編成30大卷的書)，我們同樣可以斷定，它們可以表示成不超過67個素?cái)?shù)的和．甚至休克斯提出的“空前的數(shù)”這種比999大得多的數(shù)，也能根據(jù)西涅日爾曼的證明，表示成不超過67個素?cái)?shù)的和的形狀．1937年，蘇聯(lián)科學(xué)院院士伊凡·馬特維奇·維諾格拉多夫，應(yīng)用英國數(shù)學(xué)家哈代與李脫伍特創(chuàng)造的“圓法”和他創(chuàng)造的“三角和法”證明了：對于充分大的奇數(shù)，西涅日爾曼常數(shù)不超過3．或者說成：對于充分大的奇數(shù)，都可表示為三個

6、奇數(shù)之和．　　維諾格拉多夫基本上解決了命題B、通常稱為“三素?cái)?shù)定理”．他的工作，相當(dāng)于證明了西涅日爾曼常數(shù)S≤4．　　命題B基本上被解決了，然而到命題A的證明竟是如此困難，有人從6～3300000中的任何偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)都能表示成兩個奇素?cái)?shù)之和，但這僅是驗(yàn)證，人們追求的仍然是從數(shù)學(xué)上證明，每個大于或等于6的偶數(shù)都可表示為兩個奇素?cái)?shù)之和，再多的有限數(shù)，即使大到無法想象的數(shù)也無用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想．　　人們在研究命題A的過程中，開始引進(jìn)了“殆素?cái)?shù)”的概念．所謂“殆素?cái)?shù)”就是素?cái)?shù)因子(包括相同的和不同的)的個數(shù)不超過某一固定常數(shù)的自然數(shù)．　　我們知道，除1以外，任何一

7、個正整數(shù)，一定能表示成若干素?cái)?shù)的乘積，其中每一個素?cái)?shù)，都叫做這個正整數(shù)的素因子．相同的素因子要重復(fù)計(jì)算，它有多少素因子是一個確定的數(shù)．　　例如，從25～30這六個數(shù)中，　　25=5×5　　有2個素因子，　　26=2×13　　有2個素因子，　　27=3×3×3　有3個素因子，　　23=2×2×7　有3個素因子，　　29是素?cái)?shù)　　有1個素因子，　　30=2×3×5　有3個素因子．　　于是可說25、26、29是素因子不超過2的殆素?cái)?shù)，27、28、30是素因子不超過3的殆素?cái)?shù)．　　用殆素?cái)?shù)的新概念，可以提出命題D來接近命題A．　　命題D：每一個充分大的偶數(shù)，