待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式

《待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式初探摘要:本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項問題。關(guān)鍵詞:變形對應(yīng)系數(shù)待定遞推數(shù)列數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位，推導通項公式是學習數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導出通項公式，對教師的教學和學生的學習來說都是一大難點，遞推公式千奇百怪，推導方法卻各不相同，靈活多變。對學生的觀察

2、、分析能力要求較高，解題的關(guān)鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法。但是對比較復雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談?wù)勅绾卫么ㄏ禂?shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。一、型（為常數(shù)，且）例題1.在數(shù)列中，,,試求其通項公式。分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時加上1，整理為，此時，把和看作一個整體，或者換元，令，那么，即，，因此，數(shù)列或就是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，或者

3、，進一步求出。啟示：在這個問題中，容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列，那不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時，該怎么辦呢？其實，已知，可變形為第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項的形式，然后展開括號、移項后再與相比較，利用待定系數(shù)法可得。這樣，對于形如（其中為常數(shù)，且）的遞推數(shù)列，先變?yōu)榈男问?，展開、移項，利用待定系數(shù)法有，即則數(shù)列首項為等比數(shù)列因此，形如這一類型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來求解。那么，若變?yōu)?是關(guān)于非零多項式時，該怎么辦呢？是否也能運用待定系數(shù)法呢？二型

4、例題2.在數(shù)列中，,,試求其通項公式。分析：按照例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)?，展開比較得進一步則數(shù)列是的等比數(shù)列，所以，同樣，形如的遞推數(shù)列，設(shè)第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項展開、移項、整理，比較對應(yīng)系數(shù)相等，列出方程解得即則數(shù)列是以為首項，以p為公比的等比數(shù)列。于是就可以進一步求出的通項。同理，若其中是關(guān)于n的多項式時，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法求出其通項。比如當=時，可設(shè)展開根據(jù)對應(yīng)系數(shù)分別相等求解方程即可

5、。為n的三次、四次、五次等多項式時也能用同樣的思路和方法進行求解。而如果當是n的指數(shù)式，即時，遞推公式又將如何變形呢？三例題3.在數(shù)列中，,,試求其通項。分析1：由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進行變形，在兩邊同時加上變?yōu)榧磩t數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，則第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項分析2：如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同除就回到了我們的類型一。進一步也可求出。例題4.在數(shù)列中，,,試求的通項。分析：若按例題3的思路2，在兩邊同時除以，雖然產(chǎn)生了、，但是又增

6、加了，與原式并沒有大的變化。所以只能運用思路1，在兩邊同時加上10整理進一步則數(shù)列是首項為15，公比為3的等比數(shù)列即啟示：已知數(shù)列的首項，1）當,即由例題3知，有兩種思路進行變換，利用待定系數(shù)法構(gòu)造首項和公比已知或可求的等比數(shù)列。思路一：在兩邊同時除以，將不含的項變?yōu)槌?shù)，即為前面的類型一，再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項。思路二：在兩邊同時加上的倍數(shù)，最終能變形為第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項對應(yīng)系數(shù)相等得，即即求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。1）當時，即由例4可

7、知只能在選擇思路二，兩邊既要加的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為比較得x，y的方程組于是求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。四：其中可以為常數(shù)、n的多項式或指數(shù)式）以=0為例。例題5.在數(shù)列中，,試求的通項。分析：這是三項之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把看做常數(shù)進行處理，可變?yōu)?，先求出?shù)列的通項然后利用累加法即可進一步求出的通項。第12頁共12頁最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項對于形如的遞推數(shù)列，可以設(shè)展開，利用對應(yīng)系數(shù)相等，列方程于是數(shù)列就是以為首項，y為公比的等比數(shù)列，不難求出的通項進一步利用相關(guān)即

8、可求出。同理，當為非零多項式或者是指數(shù)式時，也可結(jié)合前面的思路進行處理。問題的關(guān)鍵在于先變形然后把看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀Ｎ澹盒?，為正項?shù)列例題6.在數(shù)列中，，試求其通項。分析：此題和前面的幾種類型沒有相同之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關(guān)鍵在于通過變形，使兩邊次數(shù)相同，由于，所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，對兩邊取對數(shù)，即就是前面的類型一了，即變形得對于類似的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項數(shù)列，所以可以利用對數(shù)性質(zhì)，兩邊同時取對數(shù)，得然