待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式

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1、WORD格式可編輯用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式初探摘要:本文通過(guò)用待定系數(shù)法分析求解9個(gè)遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項(xiàng)公式的七種類(lèi)型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題。關(guān)鍵詞:變形對(duì)應(yīng)系數(shù)待定遞推數(shù)列數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，推導(dǎo)通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式，對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)都是一大難點(diǎn)，遞推公式千奇百怪，推導(dǎo)方法卻各不相同，靈活多變。對(duì)學(xué)生的觀察、分析能力要求較高，解題的關(guān)鍵在于如何變形。常見(jiàn)的方法有觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項(xiàng)相消法和公式

2、法。但是對(duì)比較復(fù)雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進(jìn)行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類(lèi)型談?wù)勅绾卫么ㄏ禂?shù)法求解幾類(lèi)數(shù)列的遞推公式。一、型（為常數(shù)，且）例題1.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)公式。分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時(shí)加上1，整理為，此時(shí)，把和看作一個(gè)整體，或者換元，令，那么，即，，因此，數(shù)列或就是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，或者，進(jìn)一步求出。啟示：在這個(gè)問(wèn)題中，容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列，那不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時(shí)，該怎么辦呢？其實(shí)，已知，可變形為專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WO

3、RD格式可編輯的形式，然后展開(kāi)括號(hào)、移項(xiàng)后再與相比較，利用待定系數(shù)法可得。這樣，對(duì)于形如（其中為常數(shù)，且）的遞推數(shù)列，先變?yōu)榈男问剑归_(kāi)、移項(xiàng)，利用待定系數(shù)法有，即則數(shù)列首項(xiàng)為等比數(shù)列因此，形如這一類(lèi)型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來(lái)求解。那么，若變?yōu)?是關(guān)于非零多項(xiàng)式時(shí)，該怎么辦呢？是否也能運(yùn)用待定系數(shù)法呢？二型例題2.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)公式。分析：按照例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時(shí)也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)?，展開(kāi)比較得進(jìn)一步則數(shù)列是的等比數(shù)列，所以，同樣，形如的遞推數(shù)列，設(shè)專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編輯展開(kāi)、移項(xiàng)、整理，比較對(duì)應(yīng)

4、系數(shù)相等，列出方程解得即則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列。于是就可以進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。同理，若其中是關(guān)于n的多項(xiàng)式時(shí)，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法求出其通項(xiàng)。比如當(dāng)=時(shí)，可設(shè)展開(kāi)根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)分別相等求解方程即可。為n的三次、四次、五次等多項(xiàng)式時(shí)也能用同樣的思路和方法進(jìn)行求解。而如果當(dāng)是n的指數(shù)式，即時(shí)，遞推公式又將如何變形呢？三例題3.在數(shù)列中，,,試求其通項(xiàng)。分析1：由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進(jìn)行變形，在兩邊同時(shí)加上變?yōu)榧磩t數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，則專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編輯分析2：如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同

5、除就回到了我們的類(lèi)型一。進(jìn)一步也可求出。例題4.在數(shù)列中，,,試求的通項(xiàng)。分析：若按例題3的思路2，在兩邊同時(shí)除以，雖然產(chǎn)生了、，但是又增加了，與原式并沒(méi)有大的變化。所以只能運(yùn)用思路1，在兩邊同時(shí)加上10整理進(jìn)一步則數(shù)列是首項(xiàng)為15，公比為3的等比數(shù)列即啟示：已知數(shù)列的首項(xiàng)，1）當(dāng),即由例題3知，有兩種思路進(jìn)行變換，利用待定系數(shù)法構(gòu)造首項(xiàng)和公比已知或可求的等比數(shù)列。思路一：在兩邊同時(shí)除以，將不含的項(xiàng)變?yōu)槌?shù)，即為前面的類(lèi)型一，再用類(lèi)型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項(xiàng)。思路二：在兩邊同時(shí)加上的倍數(shù)，最終能變形為專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編輯對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，即即求出

6、數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。1）當(dāng)時(shí)，即由例4可知只能在選擇思路二，兩邊既要加的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為比較得x，y的方程組于是求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。四：其中可以為常數(shù)、n的多項(xiàng)式或指數(shù)式）以=0為例。例題5.在數(shù)列中，,試求的通項(xiàng)。分析：這是三項(xiàng)之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把看做常數(shù)進(jìn)行處理，可變?yōu)?，先求出?shù)列的通項(xiàng)然后利用累加法即可進(jìn)一步求出的通項(xiàng)。專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編輯對(duì)于形如的遞推數(shù)列，可以設(shè)展開(kāi)，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，列方程于是數(shù)列就是以為首項(xiàng)，y為公比的等比數(shù)列，不難求出的通項(xiàng)進(jìn)一步利用相關(guān)即可求出。同理，當(dāng)為非零多項(xiàng)式或者是指數(shù)

7、式時(shí)，也可結(jié)合前面的思路進(jìn)行處理。問(wèn)題的關(guān)鍵在于先變形然后把看做一個(gè)整體就變?yōu)榱饲懊娴念?lèi)型。五：型，為正項(xiàng)數(shù)列例題6.在數(shù)列中，，試求其通項(xiàng)。分析：此題和前面的幾種類(lèi)型沒(méi)有相同之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關(guān)鍵在于通過(guò)變形，使兩邊次數(shù)相同，由于，所以可聯(lián)想到對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，即就是前面的類(lèi)型一了，即變形得對(duì)于類(lèi)似的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項(xiàng)數(shù)列，所以可以利用對(duì)數(shù)性質(zhì)，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得然后就是前面的類(lèi)型一了，就可以利用待定系數(shù)法進(jìn)一步構(gòu)造數(shù)列專(zhuān)業(yè)知識(shí)整理分享WORD格式可編