《牛吃草問題》ppt課件

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1、牛吃草問題當(dāng)代數(shù)學(xué)課前引入：1、“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”這道題太簡單了，同學(xué)們一下你會求么？3×10÷6＝5（天）如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了，因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場。牛吃草問題的歷史起源英國數(shù)學(xué)家牛頓(1642—1727)說過：“在學(xué)習(xí)科學(xué)的時候，題目比規(guī)則還有用些”因此在他的著作中，每當(dāng)闡述理論時，總是把許多實例放在一起在牛頓的《普遍的算術(shù)》一書中，有一個關(guān)于求牛和頭數(shù)的題目，人

2、們稱之為牛頓的牛吃草問題。，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。例1牧場上一片青草，每天牧

3、草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量?？偛萘靠梢苑譃槟翀錾显械牟莺托律L出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10×20=200（份）15×10=150（份）草速：(200－150)÷(20—10)＝5（份），

4、牧場上原有草（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。所以，這片草地可供25頭牛吃5天。牛吃草問題的公式解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰假設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”（1）草的生長速度＝總草量差÷時間差；2）原有草量＝總草－新增的3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。在例1的解法中要注意

5、三點：（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天。實踐操練1.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？例2一個水池裝一個進水管和三個同樣的出水管。先打開進水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時打開2個出水管，那么8分鐘后

6、水池空；如果同時打開3個出水管，那么5分鐘后水池空。那么出水管比進水管晚開多少分鐘？分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因為總的水量在均勻變化，“水”相當(dāng)于“草”，進水管進的水相當(dāng)于新長出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的水量，另一部分是開始排水至排空這段時間內(nèi)進水管放進的水。因為原有的水量是不變的，所以可以從比較兩次排水所用的時間及排水量入手解決問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個出水管8分鐘所排的水是2×8＝16（份），3個出水管5分鐘所排

7、的水是3×5＝15（份），這兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時間內(nèi)的進水量。兩者相減就是在8-5=3（分）內(nèi)所放進的水量，所以每分鐘的進水量是例3由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明

8、寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃