分形與小波理論在非線性圖像處理中應(yīng)用

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1、非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告分形與小波理論在非線性圖像處理中的應(yīng)用摘要：基于小波的圖像處理研究是—項(xiàng)備受關(guān)注的研究課題，近年來(lái)，將諸如分形理論等的非線性處理技術(shù)引入該領(lǐng)域的研究已經(jīng)成為一個(gè)發(fā)展方向。本文探討了將分形這種信號(hào)處理中常用的非線性處理技術(shù)與小波變換相結(jié)合，在圖像壓縮編碼、圖像邊緣檢測(cè)、圖像紋理分割以及其他領(lǐng)域的運(yùn)用。關(guān)鍵字：小波分形圖像壓縮紋理分割邊緣檢測(cè)FractalandWavelettheoryTheoryinNonlinearImageProcessingAbstract:Waveletisoneofthemostoutstandingtechniquesin

2、imageprocessing,andfractalsignalprocessingisanewanalysismethoddevelopedinpasttwodecades.Astudyofcombiningthosetwomethodsofsignalprocessingandapplyingthemtoimageprocessingisthetopicofthispaper.Keywords:waveletfractalimagecompressiontexturesegmentationedgedetection1.小波與分形基礎(chǔ)理論介紹1.1引言小波理論[1](Wa

3、veletTheory)被認(rèn)為是近年來(lái)在數(shù)學(xué)分析和方法上的重大理論突破，在不同學(xué)科和領(lǐng)域的科學(xué)家的共同努力下，如今已經(jīng)有了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和廣泛的應(yīng)用背景。在數(shù)學(xué)界，小波分析被看作是傅里葉分析發(fā)展史上的里程碑，是為克服傳統(tǒng)傅立葉分析方法的缺點(diǎn)而發(fā)展起來(lái)的，它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)，而且由于對(duì)高頻成分采用逐漸精細(xì)的時(shí)域或空間域取樣步長(zhǎng)，從而可以聚焦到對(duì)象的任意細(xì)節(jié)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡"，是泛函分析、傅里葉分析、樣條分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的完美結(jié)合。目前，小波變換被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理的各個(gè)領(lǐng)域，例如如語(yǔ)音信號(hào)處理、數(shù)字圖像處理、數(shù)字視頻處理、非線性信號(hào)處理等。分

4、形理論(FractalTheory)是非線性研究的重要組成部分之一，非線性科學(xué)是近30年來(lái)在各門以非線性為特征的子學(xué)科研究基礎(chǔ)上形成的，旨在揭示非線性系統(tǒng)的共同性質(zhì)、基本特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是跨多個(gè)學(xué)科的綜合性基礎(chǔ)科學(xué)。分形理論是目前一門跨學(xué)科、非線性并且相當(dāng)活躍的學(xué)科。分形幾何學(xué)是由非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告Mandelbrot首先提出的，用來(lái)描述自然界中不規(guī)則、具有自相似結(jié)構(gòu)的物體。在圖像處理領(lǐng)域，分形理論在模擬自然景物生成、圖像邊緣檢測(cè)、圖像分割等方面上有很好地運(yùn)用。非線性是指兩個(gè)量之間沒(méi)有象正比那樣的“直線”關(guān)系，自然界中的非線性是絕對(duì)的，線性是非線性的特殊情況。非線性科

5、學(xué)研究包羅萬(wàn)象，但如果什么都研究，那反倒什么問(wèn)題也解決不了，因此非線性的研究的重點(diǎn)在于研究各門學(xué)科中非線性的共性問(wèn)題。數(shù)學(xué)領(lǐng)域非線性科學(xué)研究的三大重點(diǎn)包括：混沌(chaos)，分形(fractal)和孤立波(soliton)；技術(shù)工程領(lǐng)域非線性應(yīng)用方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2~3]，矢量量化等。1.1小波變換(1)一維連續(xù)小波變換對(duì)于，的一維小波變換定義為：(1.1)(1.1)式中被稱為母小波，是的復(fù)共軛轉(zhuǎn)制。其中，為實(shí)數(shù)，且>0，被稱作尺度因子，反映了一個(gè)具體的基函數(shù)的伸縮尺度。為時(shí)間中心函數(shù)，表示基函數(shù)的平移位置。小波逆變換可以看成原信號(hào)的重構(gòu)，對(duì)于以及的連續(xù)點(diǎn)有(1.2)其中，式

6、(1.2)稱之為信號(hào)的小波重構(gòu)。(2)二維連續(xù)小波變換如果信號(hào)函數(shù)，非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告為二維小波母函數(shù)，其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成，也可以由非張量積的方法構(gòu)造，則的表達(dá)形式為：，(1.3)因?yàn)閳D像信號(hào)是二維信號(hào)，所以將一維小波擴(kuò)展到二維情況便于后續(xù)使用和分析。(1.4)一維和二維小波變換除了連續(xù)變換之外還有離散變換的形式，這里不再贅述。(1)多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis，MRA)是1989年由S．Mallat引入的，他從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨特性，將在此之前所有小波變換理論統(tǒng)一起來(lái)。設(shè)是一個(gè)正交MRA，如果(

7、1.5)那么，函數(shù)的伸縮、平移構(gòu)成的正交基。對(duì)于任意的，可以表示為(1.6)且其中部分和(1.7)因此構(gòu)成信號(hào)在子空間上的投影，也就是信號(hào)分解到與頻率相關(guān)的局部信息。綜合式(1.6)和(1.7)得到信號(hào)的另一種等價(jià)表示非線性信號(hào)與圖像處理大報(bào)告(1.8)式(1.8)可以看做是信號(hào)的一種按頻率的分解。更進(jìn)一步的，如果只希望知道信號(hào)不超過(guò)頻率相關(guān)的所有信息，則該信息的表達(dá)式為(1.9)信號(hào)。1989年，Mallat在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中提出了信號(hào)的塔式多分辨分解與重構(gòu)的著名算法，也稱