貝葉斯公式的應(yīng)用

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1、貝葉斯公式的應(yīng)用1綜述在U常生活屮，我們會(huì)遇到許多由因求果的問(wèn)題，也會(huì)遇到許多由果溯因的問(wèn)題。比如某種傳染疾病已經(jīng)出現(xiàn).尋找傳染源；機(jī)械發(fā)生了故障，尋找故障源就是典型的南果溯因問(wèn)題等。在一定條件十這類由果溯因問(wèn)題可通過(guò)W葉斯公式來(lái)求解。以T的例子來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式的應(yīng)用。貝葉斯公式的定義給出了事件B隨著兩兩互斥的事件a,，a2，...，人中某一個(gè)出現(xiàn)而出現(xiàn)的概率。如果反過(guò)來(lái)知道事件B已出現(xiàn)，但不知道它由于冬軋...，'中那一個(gè)事件出現(xiàn)而與之同時(shí)出現(xiàn)，這樣，便產(chǎn)生丫在事件5已經(jīng)出現(xiàn)出現(xiàn)的條件下，求事件/^=1，2，..72)出現(xiàn)的條件概率的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題有如下公式：2

2、定義設(shè)，…，墳為Q的一個(gè)分割，即S,S2，…，氏互不相容，且=￡2,如果＞/=10,尸(B,)=00=1,2,...,/!)，則P(g,.M)=，Z=1，2,…，no7=1貝葉斯公式在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用我們知道，國(guó)外的舊車市場(chǎng)很多。出國(guó)留學(xué)或訪問(wèn)的人有時(shí)花很少的錢就可以買一輛和當(dāng)不錯(cuò)的車，開(kāi)上兒年也沒(méi)問(wèn)題。但運(yùn)氣不好時(shí)，開(kāi)不了兒天就這兒壞那兒壞的，修車的錢是買車錢的好幾倍，經(jīng)常出毛病帶來(lái)的煩惱就史別提了。為了幫助買IH車的人了解各種IH車的質(zhì)量和性能，岡外出版一種專門介紹各品牌IH車以及各年代不同車型各主要部件質(zhì)量數(shù)據(jù)的舊車雜志。比如有個(gè)買主想買某種型號(hào)的舊車，他從舊車雜

3、志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%的傳動(dòng)裝置有質(zhì)量問(wèn)題。除了從舊車雜志上尋找有關(guān)舊車質(zhì)量的信息外，在舊車市場(chǎng)上買舊車時(shí)還需要有憒車的內(nèi)行來(lái)幫忙。比如可以找會(huì)修車的朋友幫助開(kāi)一開(kāi)，檢查各主耍部件的質(zhì)暈。因?yàn)榕f車雜志上給出的是某種車輛質(zhì)量的平均信息，就要買的某一輛來(lái)講可能是好的傳動(dòng)裝置，也可能會(huì)有問(wèn)題。比較常見(jiàn)的方法是花一點(diǎn)錢請(qǐng)個(gè)汽車修理工幫助開(kāi)幾圈，請(qǐng)他幫助判斷一不傳動(dòng)裝置和其他部件的質(zhì)量。當(dāng)然，盡管汽車修理工很有經(jīng)驗(yàn)，也難免有判斷不準(zhǔn)的吋候。假定從過(guò)去的記錄知道某個(gè)修理工對(duì)于傳動(dòng)裝置有間題的車，其屮90%他可以判斷出有問(wèn)題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問(wèn)題。對(duì)于傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題

4、的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會(huì)判斷沒(méi)問(wèn)題，另外的20%他會(huì)認(rèn)為宥問(wèn)題，即發(fā)生判斷的錯(cuò)誤。根據(jù)這些已知信息請(qǐng)你幫助買主計(jì)算如下的W題：1、若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動(dòng)裝置有問(wèn)題的車的概率是多少？2、若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置有問(wèn)題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有W題的概率是多少？3、當(dāng)修理工說(shuō)該車“傳動(dòng)裝置沒(méi)問(wèn)題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問(wèn)題的概率是多少？解1、問(wèn)題是簡(jiǎn)單的，即有30%的uj能性買到一輛有傳動(dòng)裝置間題的舊車，我們?cè)谶@里只利用舊車雜志的信息。第2問(wèn)和第3問(wèn)是W葉斯估計(jì)或者利用W葉斯公式進(jìn)行決策的問(wèn)題。2、我們知道，貝

5、葉斯公式是個(gè)條件概率的公式，即^P（Ay.）P（fi/Ay）7=1其屮//5）稱為事件的后驗(yàn)概率，即在已知事件《發(fā)生條件'卜*事件發(fā)生的概率；P（AZ）是事件的先驗(yàn)概率；P（B/AZ）稱為樣本信息，即在歡發(fā)生條件下事件的概率。對(duì)于第2問(wèn)，我們不妨令：砟=實(shí)際有問(wèn)題，名=實(shí)際沒(méi)問(wèn)題=修理工判斷“有問(wèn)題”，B2=修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”則口」*將貝葉斯公式改寫成：P（實(shí)際有問(wèn)題/修理工判斷“有問(wèn)題”）=P（實(shí)際有問(wèn)題）P（修理工判斷“有M題”/實(shí)際有悶題）（實(shí)阮權(quán)問(wèn)題）P（修理工判斷“釘M題”/實(shí)際初問(wèn)題）+P（實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）P（修理工判斷“侖問(wèn)題”/實(shí)際沒(méi)悶題）P⑷尸（什/A,

6、）根據(jù)已知條件，計(jì)算式屮芥項(xiàng)的概率分別為：尸（八）=戸（實(shí)際有問(wèn)題）=0.3尸（4）=/^實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.7（修理工判斷“冇問(wèn)題”/實(shí)際冇問(wèn)題）=0.9八尋//12）=戶（修理工判斷“冇問(wèn)題”/實(shí)際沒(méi)M題）=0.2戶（52/4）二/＞（修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”/實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.1P（民/A_）=P（修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”/實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）=0.8代入上式P（實(shí)際有問(wèn)題/修理工判斷“有問(wèn)題”）"p（A）m/A）+^2）m/A）0.3x0.9-03x0.9+0.7x0.2=0.66這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“有問(wèn)題”時(shí)，實(shí)際有問(wèn)題的概率為0.66,即修理工的判斷宥

7、問(wèn)題使得真宥問(wèn)題的概率由0.30增長(zhǎng)到0.66。3、八實(shí)際有問(wèn)題/修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”）=P（實(shí)際冇問(wèn)題）A修理丄^祈“沒(méi)問(wèn)題”/實(shí)際冇問(wèn)題）_八實(shí)際有問(wèn)題）八修J肛判斷“沒(méi)I'nj題”/實(shí)際有I'nj題）+P（實(shí)際沒(méi)I'nj題）P（修肛判斷“沒(méi)問(wèn)題”/實(shí)際沒(méi)問(wèn)題）p（A）p（b,/a）~p（A）p（b2/A）+^2）^2/A）由問(wèn)題2知道A實(shí)際有問(wèn)題/修理工判斷“沒(méi)問(wèn)題”）P（A,）P（g2/A）~P（A）P（B2/A）+^（A2）P（B2/A）_0.1x0.3~03x0.1+0.7x0.8=0.05這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳