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1、貝葉斯公式的應(yīng)用1綜述在日常生活中，我們會(huì)遇到許多由因求果的問題，也會(huì)遇到許多由果溯因的問題。比如某種傳染疾病已經(jīng)出現(xiàn)．尋找傳染源；機(jī)械發(fā)生了故障，尋找故障源就是典型的南果溯因問題等。在一定條件下，這類由果溯因問題可通過貝葉斯公式來求解。以下的例子來說明貝葉斯公式的應(yīng)用。貝葉斯公式的定義給出了事件隨著兩兩互斥的事件中某一個(gè)出現(xiàn)而出現(xiàn)的概率。如果反過來知道事件已出現(xiàn)，但不知道它由于中那一個(gè)事件出現(xiàn)而與之同時(shí)出現(xiàn)，這樣，便產(chǎn)生了在事件已經(jīng)出現(xiàn)出現(xiàn)的條件下，求事件出現(xiàn)的條件概率的問題，解決這類問題有如下公式：2定義設(shè)為的一個(gè)分割，即互不相容，且，如果P
2、(A)>0，,則。貝葉斯公式在市場預(yù)測中的應(yīng)用我們知道，國外的舊車市場很多。出國留學(xué)或訪問的人有時(shí)花很少的錢就可以買一輛相當(dāng)不錯(cuò)的車，開上幾年也沒問題。但運(yùn)氣不好時(shí)，開不了幾天就這兒壞那兒壞的，修車的錢是買車錢的好幾倍，經(jīng)常出毛病帶來的煩惱就更別提了。為了幫助買舊車的人了解各種舊車的質(zhì)量和性能，國外出版一種專門介紹各品牌舊車以及各年代不同車型各主要部件質(zhì)量數(shù)據(jù)的舊車雜志。比如有個(gè)買主想買某種型號(hào)的舊車，他從舊車雜志上可發(fā)現(xiàn)這種舊車平均有30%的傳動(dòng)裝置有質(zhì)量問題。除了從舊車雜志上尋找有關(guān)舊車質(zhì)量的信息外，在舊車市場上買舊車時(shí)還需要有懂車的內(nèi)行來幫
3、忙。比如可以找會(huì)修車的朋友幫助開一開，檢查各主要部件的質(zhì)量。因?yàn)榕f車雜志上給出的是某種車輛質(zhì)量的平均信息，就要買的某一輛來講可能是好的傳動(dòng)裝置，也可能會(huì)有問題。比較常見的方法是花一點(diǎn)錢請(qǐng)個(gè)汽車修理工幫助開幾圈，請(qǐng)他幫助判斷一下傳動(dòng)裝置和其他部件的質(zhì)量。當(dāng)然，盡管汽車修理工很有經(jīng)驗(yàn)，也難免有判斷不準(zhǔn)的時(shí)候。假定從過去的記錄知道某個(gè)修理工對(duì)于傳動(dòng)裝置有間題的車，其中90%他可以判斷出有問題，另有10%他發(fā)現(xiàn)不了其中的問題。對(duì)于傳動(dòng)裝置沒問題的車，他的判斷也差不多同樣出色，其中80%的車他會(huì)判斷沒問題，另外的20%他會(huì)認(rèn)為有問題，即發(fā)生判斷的錯(cuò)誤。根據(jù)
4、這些已知信息請(qǐng)你幫助買主計(jì)算如下的問題：1、若買主不雇用修理工，他買到一輛傳動(dòng)裝置有問題的車的概率是多少?2、若買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置有問題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率是多少?3、當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置沒問題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率是多少?解1、問題是簡單的，即有30%的可能性買到一輛有傳動(dòng)裝置間題的舊車，我們?cè)谶@里只利用舊車雜志的信息。第2問和第3問是貝葉斯估計(jì)或者利用貝葉斯公式進(jìn)行決策的問題。2、我們知道，貝葉斯公式是個(gè)條件概率的公式，即其中稱為事件的后驗(yàn)概率，即在已知事件發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率
5、；是事件的先驗(yàn)概率；稱為樣本信息，即在發(fā)生條件下事件的概率。對(duì)于第2問，我們不妨令：=實(shí)際有問題，=實(shí)際沒問題=修理工判斷“有問題”，=修理工判斷“沒問題”則可將貝葉斯公式改寫成：根據(jù)已知條件，計(jì)算式中各項(xiàng)的概率分別為：代入上式這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“有問題”時(shí)，實(shí)際有問題的概率為0.66，即修理工的判斷有問題使得真有問題的概率由0.30增長到0.66。3、由問題2知道0.05這個(gè)結(jié)果表明，當(dāng)修理工判斷某輛車的傳動(dòng)裝置“沒問題”時(shí)，實(shí)際有問題的概率為0.05，即修理工的判斷沒問題而實(shí)際上有問題的概率由0.3下降到0.05。評(píng)注
6、這是一個(gè)生活中很常見的問題。利用貝葉斯公式計(jì)算出買主花錢雇修理工幫他挑選和判斷，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置有問題”時(shí)該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率，當(dāng)修理工說該車“傳動(dòng)裝置沒問題”時(shí)而該車傳動(dòng)裝置真有問題的概率。如果買主沒有請(qǐng)修理工，他買到的舊車有質(zhì)量問題的概率高達(dá)0.3，但是如果請(qǐng)修理工幫忙試車的話買到的舊車有質(zhì)量問題的概率卻可以降到0.05。這樣不僅為買主剩下較多修車的錢，還幫助買主避免了日后的很多麻煩。貝葉斯公式局限.目前，針對(duì)其他學(xué)派指責(zé)最多的“先驗(yàn)分布如何確定”這個(gè)貝葉斯統(tǒng)計(jì)的難點(diǎn)。已初步研究出了以下方法：(1)無信息先驗(yàn)分布；(2)共軛先驗(yàn)
7、分布；(3)用經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法確定先驗(yàn)分布；(4)用最大熵方法確定先驗(yàn)分布；(5)用專家經(jīng)驗(yàn)確定先驗(yàn)分布；(6)用自助(Bootstrap)法和隨機(jī)加權(quán)法確定先驗(yàn)分布。貝葉斯方法在可靠性分析中有著重要的應(yīng)用。數(shù)據(jù)少是可靠性分析的特點(diǎn)。由于可靠性分析的對(duì)象大多是精密、貴重的儀器設(shè)備．試驗(yàn)費(fèi)用大，樣本量小到甚至只有一、二次的試驗(yàn)結(jié)果。在這種情況下去分析設(shè)備的可靠性指標(biāo)。須盡可能地搜集、綜合各種驗(yàn)前經(jīng)驗(yàn)，整理、推導(dǎo)出參數(shù)的先驗(yàn)分布。而先驗(yàn)分布的確定不是憑空捏造的，是通過正常的邏輯思維獲得的。先驗(yàn)分布的使用，成為驗(yàn)后樣本最不足的合理的補(bǔ)充。5
