淺談貝葉斯公式及其應(yīng)用

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1、淺談貝葉斯公式及其應(yīng)用摘要貝葉斯公式是概率論中很重要的公式，在概率論的計(jì)算中起到很重要的作用。本文通過對貝葉斯公式進(jìn)行分析研究，同時(shí)也探討貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、市場預(yù)測、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及工廠產(chǎn)品檢查等方面的一些實(shí)例，闡述了貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、市場、信號(hào)估計(jì)、推理以及產(chǎn)品檢查中的應(yīng)用。為了解決更多的實(shí)際問題，我們對貝葉斯公式進(jìn)行了推廣，舉例說明了推廣后的公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型比原來的公式更廣。從而使我們更好地了解到貝葉斯公式存在于我們生活的各個(gè)方面、貝葉斯公式在我們的日常生活中非常重要。關(guān)鍵詞：貝葉斯公式應(yīng)用

2、概率推廣18第一章引言貝葉斯公式是概率論中重要的公式，主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。貝葉斯公式出現(xiàn)于17世紀(jì)，從發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在，已經(jīng)深入到科學(xué)與社會(huì)的許多個(gè)方面。它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.貝葉斯公式在實(shí)際中生活中有廣泛的應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因。目前，社會(huì)在飛速發(fā)展，市場競爭日趨激烈，決策者必須綜合考察已往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷，決策概率分析越來越顯示其重要性。其中貝葉斯公式主要用于處理先驗(yàn)概率與后

3、驗(yàn)概率，是進(jìn)行決策的重要工具。貝葉斯公式可以用來解決醫(yī)學(xué)、市場預(yù)測、信號(hào)估計(jì)、概率推理以及產(chǎn)品檢查等一系列不確定的問題。本文首先分析了貝葉斯公式的概念，再用貝葉斯公式來解決實(shí)際中的一些問題。然后將貝葉斯公式推廣，舉例說明推廣后的貝葉斯公式在實(shí)際應(yīng)用中所適用的概型。18第二章葉斯公式的定義及其應(yīng)用2.1貝葉斯公式的定義給出了事件隨著兩兩互斥的事件中某一個(gè)出現(xiàn)而出現(xiàn)的概率。如果反過來知道事件已出現(xiàn)，但不知道它由于中那一個(gè)事件出現(xiàn)而與之同時(shí)出現(xiàn)，這樣，便產(chǎn)生了在事件已經(jīng)出現(xiàn)出現(xiàn)的條件下，求事件出現(xiàn)的條件概率的問題，解決

4、這類問題有如下公式：2.1.1定義設(shè)為的一個(gè)分割，即互不相容，且，如果P(A)>0，,則。證明由條件概率的定義（所謂條件概率，它是指在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率，記為）對上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式,結(jié)論的證。182.1.2分析貝葉斯公式的定義貝葉斯公式可以作如下解釋：假定有n個(gè)兩兩互斥的“原因”可引起同一種“現(xiàn)象”的發(fā)生，若該現(xiàn)象已經(jīng)發(fā)生，利用貝葉斯公式可以算出由某一個(gè)原因所引起的可能性有多大，如果能找到某個(gè)，使得則就是引起“現(xiàn)象”最大可能的“原因”。生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況，事件A已

5、發(fā)生,我們需要判斷引起A發(fā)生的“原因”這就需要用到貝葉斯公式來判斷引起A發(fā)生的“原因”的概率。貝葉斯決策就是在不完全情報(bào)下，對部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用貝葉斯公式對發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。本文首先給出貝葉斯公式的定義以及證明，對條件概率公式和全概率公式進(jìn)行了回顧，加深了對貝葉斯公式的理解，為下面對貝葉斯公式自如地運(yùn)用做鋪墊。2.2貝葉斯公式的應(yīng)用2.2.1貝葉斯公式在醫(yī)療診斷上的應(yīng)用例1、某地區(qū)肝癌的發(fā)病率為0.0004，先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查。醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是

6、存在錯(cuò)誤的。已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽性（有?。?，而沒有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性（無病）?，F(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽性，問他真患肝癌的概率是多少？解記事件“被檢查者患有肝癌”，為事件“檢查結(jié)果為陽性”，有題設(shè)知18我們現(xiàn)在的目的是求，由貝葉斯公式得這表明，在檢查結(jié)果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%。這個(gè)結(jié)果可能會(huì)使人吃驚，但仔細(xì)分析一下就可以理解了。因?yàn)楦伟┌l(fā)病率很低，在10000人中越有四人，而約有9996人不患肝癌。對10000個(gè)人中，用甲胎蛋白法進(jìn)行檢查，按其錯(cuò)檢的概率可知，9996個(gè)不

7、患肝癌者中約有約有99960.00190996個(gè)呈陽性。另外四個(gè)真患肝癌者的檢查報(bào)告中約有40.993.96個(gè)呈陽性，僅從13.956個(gè)呈陽性者中看出，真患肝癌的3.96人約占28.4%。進(jìn)一步降低錯(cuò)檢的概率是提高檢驗(yàn)精度的關(guān)鍵，在實(shí)際中由于技術(shù)和操作等種種原因，降低錯(cuò)檢的概率有事很困難的。所以在實(shí)際中，常采用復(fù)查的方法來減少錯(cuò)誤率?；蛴昧硪恍┖唵我仔械妮o助方法先進(jìn)行初查，排除了大量明顯不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法對被懷疑的對象進(jìn)行檢查，此時(shí)被懷疑的對象群體中，肝癌的發(fā)病率已大大提高了，譬如，對首次檢查得的人群

8、再進(jìn)行復(fù)查，此時(shí)=0.284，這時(shí)再用貝葉斯公式計(jì)算得這就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。在上面的例子里面，如果我們將事件(“被檢查者患有肝癌”)看作是“原因”，將事件（“檢查結(jié)果呈陽性”）看作是最后“結(jié)果”。則我們用貝葉斯公式在已知“結(jié)果”的條件下，求出了“原因”的概率。而求“結(jié)果”的（無條件）概率,用全概率公式。在上例中若取=0.284，則18條件概率的三公式中，乘法