函數(shù)奇偶性性質及其應用

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1、函數(shù)奇偶性的性質及其應用蔣明權鄧海如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x，都有，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)。其判定的法則是：（1）看關系式是否出現(xiàn)（此為奇函數(shù)）或（此為偶函數(shù)），（2）看定義域是否關于原點對稱；（3）看圖象是否關于原點對稱（此為奇函數(shù)）或關于y軸對稱（此為偶函數(shù)）。顯然，法則（1），（2）與法則（3）是等價的。也就是說，一個函數(shù)不滿足這三條法則中的任何一條，它是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)f(x)滿足了法則（1），（2）或者滿足法則（3），則可判定它的奇偶性

2、。因此，就奇偶性而言函數(shù)可以分為四類：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；④非奇非偶函數(shù)。設f(x)是奇函數(shù)，如果當x>0時，，則（證明從略，類似情況略）。設f(x)是奇函數(shù)，如果當x>0時，f(x)是增函數(shù)，則當x<0時，f(x)仍然是增函數(shù)（證明從略，類似情況略）。一.判斷函數(shù)的奇偶性例1.判定函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域滿足，即為，函數(shù)的圖象表示兩個點：（-1，0），（1，0）。其圖象既關于原點對稱，又關于y軸對稱。從而函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。二.求函數(shù)的函數(shù)值例3.設（其中a,b,c為常數(shù)），且，試求f(2)的值。解

3、：設，易證g(x)是奇函數(shù)，故于是兩式相加得：，即三.函數(shù)的解析式例3.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，。試求此函數(shù)的解析式。解：（1）當x＝0時，，于是；（2）當x<0時，，則，由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則此函數(shù)的解析式為例4.設，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，，求f(x)的表示式。解：f(x)是奇函數(shù)，有；g(x)是偶函數(shù)，有，則即兩式相減得四.解不等式例5.解不等式解：設，因，則f(x)是偶函數(shù)，即f(x)的奇數(shù)次方為0，可設，以x＝1代入，得解得A＝70，即，原不等式可化為：即即因而或x>1例6.（2004年上

4、海卷）設奇函數(shù)f(x)的定義域是［-5，5］。當時，f(x)的圖象如圖1，則不等式f(x)<0的解是______________。圖1解：根據(jù)奇函數(shù)圖象關于原點成中心對稱的性質，畫出函數(shù)在區(qū)間［-5，5］上的圖象如圖2，易知不等式的解是。圖2五.在二項式的展開式中的應用例7.若，求的值。解：設，則f(x)是偶函數(shù)則的奇數(shù)次方的系數(shù)則六.函數(shù)的奇偶性的綜合應用題例8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)有最小值2，其中，且（1）試求f(x)的解析式；（2）問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在關于點（1，0）對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，

5、說明理由。解：知函數(shù)是奇函數(shù)，，則c＝0由于，所以，又，又，于是解得，又所以b＝1，a＝1所以（2）設點（x0，y0）存在關于點（1，0）對稱點（，y0），此兩點均在函數(shù)的圖象上，則聯(lián)立以上兩式得，即，從而，當時，得；當時，得即存在點（），（）關于點（1，0）對稱。湖南省永州市第一中學（425006）年級高中學科數(shù)學版本期數(shù)內容標題函數(shù)奇偶性的性質及其應用分類索引號G.622.475分類索引描述　　統(tǒng)考試題與題解主題詞函數(shù)奇偶性的性質及其應用欄目名稱專題輔導供稿老師審稿老師錄入韓秋榮一校胡丹二校審核