函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用.doc

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1、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用蔣明權(quán)鄧海如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)；如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有，那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)。其判定的法則是：（1）看關(guān)系式是否出現(xiàn)（此為奇函數(shù)）或（此為偶函數(shù)），（2）看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（3）看圖象是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（此為奇函數(shù)）或關(guān)于y軸對(duì)稱（此為偶函數(shù)）。顯然，法則（1），（2）與法則（3）是等價(jià)的。也就是說(shuō)，一個(gè)函數(shù)不滿足這三條法則中的任何一條，它是非奇非偶函數(shù)；如果函數(shù)f(x)滿足了法則（1），（2）或者滿足法則（3），則可判定

2、它的奇偶性。因此，就奇偶性而言函數(shù)可以分為四類：①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；④非奇非偶函數(shù)。設(shè)f(x)是奇函數(shù)，如果當(dāng)x>0時(shí)，，則（證明從略，類似情況略）。設(shè)f(x)是奇函數(shù)，如果當(dāng)x>0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)仍然是增函數(shù)（證明從略，類似情況略）。一.判斷函數(shù)的奇偶性例1.判定函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域滿足，即為，函數(shù)的圖象表示兩個(gè)點(diǎn)：（-1，0），（1，0）。其圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于y軸對(duì)稱。從而函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。二.求函數(shù)的函數(shù)值例3.設(shè)（其中a,b,c為常數(shù)），且，

3、試求f(2)的值。解：設(shè)，易證g(x)是奇函數(shù)，故于是兩式相加得：，即三.函數(shù)的解析式例3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，。試求此函數(shù)的解析式。解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，，于是；（2）當(dāng)x<0時(shí)，，則，由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則此函數(shù)的解析式為例4.設(shè)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，，求f(x)的表示式。解：f(x)是奇函數(shù)，有；g(x)是偶函數(shù)，有，則即兩式相減得四.解不等式例5.解不等式解：設(shè)，因，則f(x)是偶函數(shù)，即f(x)的奇數(shù)次方為0，可設(shè)，以x＝1代入，得解得A＝70，即，原不等式可化為：即即因

4、而或x>1例6.（2004年上海卷）設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域是［-5，5］。當(dāng)時(shí)，f(x)的圖象如圖1，則不等式f(x)<0的解是______________。圖1解：根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的性質(zhì)，畫出函數(shù)在區(qū)間［-5，5］上的圖象如圖2，易知不等式的解是。圖2五.在二項(xiàng)式的展開式中的應(yīng)用例7.若，求的值。解：設(shè)，則f(x)是偶函數(shù)則的奇數(shù)次方的系數(shù)則六.函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用題例8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有最小值2，其中，且（1）試求f(x)的解析式；（2）問(wèn)函數(shù)f(x)的圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱

5、的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。解：知函數(shù)是奇函數(shù)，，則c＝0由于，所以，又，又，于是解得，又所以b＝1，a＝1所以（2）設(shè)點(diǎn)（x0，y0）存在關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱點(diǎn)（，y0），此兩點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上，則聯(lián)立以上兩式得，即，從而，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得即存在點(diǎn)（），（）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱。湖南省永州市第一中學(xué)（425006）年級(jí)高中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用分類索引號(hào)G.622.475分類索引描述　　統(tǒng)考試題與題解主題詞函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用欄目名稱專題輔導(dǎo)供稿老師審稿老師錄入韓秋榮一校胡丹二校

6、審核