函數(shù)奇偶性的性質(zhì)應用

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1、函數(shù)奇偶性的應用一、　利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性1奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反．2奇函數(shù)、偶函數(shù)的單調(diào)性的對稱規(guī)律在不同區(qū)間內(nèi)的自變量對應的函數(shù)值比較大小中作用很大．對于偶函數(shù)，如果兩個自變量在關于原點對稱的兩個不同的單調(diào)區(qū)間上，即自變量的正負不統(tǒng)一，應利用圖象的對稱性將自變量化歸到同一個單調(diào)區(qū)間，然后再根據(jù)單調(diào)性判斷．例．若奇函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，且有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上是增函數(shù)，且有最小值－M.例．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．例如果f

2、(x)是R上的奇函數(shù)，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函數(shù)f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，聯(lián)想圖象可知函數(shù)f(x)在[－6，－3]上的最大值為－2，最小值為－4.例．若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，且f(1)f(－2)C．f(－1)＝f(1)D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)－f(2)．又已知f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函數(shù)y＝f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，圖象必過點A．（a,－f(a))B．（-

3、a,－f(a))C．（a,f(－a))D．（-a,－f(a))例．設f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小順序是________．解析：∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上遞增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列各式成立的是(　　)A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>

4、f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上遞增，10∴f(－2)>f(1)>f(0)．答案：B　例．已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是奇函數(shù)，在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)f(－1)C．f(－1)f(－5)思路分析：要比較各函數(shù)值的大小，需判斷函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上的單調(diào)性，根據(jù)題意，應首先判斷函數(shù)在區(qū)間[0,5]上的單調(diào)性．解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，又3>1，且f(3)<

5、f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間[0,5]上是減函數(shù)．由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5,5]上是減函數(shù)．選項A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．選項B中，0>－1，故f(0)f(1)，選項D中f(－3)0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，則(　　)A．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0B．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0C．f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＝0D．f(x1)＋f(x2)>f(x3)解析：利用減函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)判斷．∵x1＋

6、x2>0，∴x1>－x2.又∵f(x)是定義在R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，∴f(x1)<－f(x2)．∴f(x1)＋f(x2)<0.同理，可得f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x2)<0.∴2f(x1)＋2f(x2)＋2f(x3)<0.∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.答案：B例?。?009年陜西文科卷）定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有．則（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A例　定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]>0.則當n∈N＋時，有(　　)A．f(－n)

7、　　　　B．f(n－1)0得f(x)在x∈(－∞，0]為增函數(shù)．又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在x∈[0，＋∞)為減函數(shù)．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1