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1、探索—反思—再探索一、引言 近幾年的江蘇卷，解析幾何除了考查相應的知識點以外，更重要的是考查學生的計算能力。學生對很多問題有思路，但是真正到計算的時候往往又錯誤百出。為此，我專門挑選了2011年江蘇卷中的解析幾何題目作為例題來強化學生的計算，并促成學生養(yǎng)成解后反思的習慣?！ 《⒄n堂實錄 師：今天這節(jié)課，我們來看看在解析幾何中如何算，能否少算甚至不算?！ 。ㄍ队俺隼}）（2011年江蘇卷第18題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足
2、為C，連接AC，并延長交橢圓于點B．設直線PA的斜率為k．對任意k>0，求證：PA⊥PB． 師：這是這道題目的第三問，也是區(qū)分度非常高的一問，我們一起討論一下如何解決？ ?。▽W生互相討論，有的已經(jīng)開始動筆算） 生1：直接根據(jù)題意，求出PB的斜率?！ 煟呵驪B的斜率還缺那些條件？ 生1：P點坐標、B點坐標?！ 煟喝绾吻笊鲜鳇c的坐標?！ ∩?：直線AP的方程和橢圓的方程聯(lián)列，可以得到A、P兩點的坐標，以及C點的坐標?！ 煟耗荁點坐標呢？ 生1：直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)列，可以得到B點坐標?！ 煟汉芎?，請大家按照生1的思路
3、來算算看?！ 。〞r間在一分一秒地過去，但是學生的解答始終不盡如人意） 師：生1，你算得怎樣了？ 生1：沒有，太煩了，而且都是字母運算。 師：不能因為煩就放棄了，我們大家一起來試試看?！ 煟郝?lián)列直線AP的方程和橢圓的方程可以得到P點坐標，多少？ 生眾：P（，），A（-，-） 師：直線AC的方程是y=（x-）（在黑板上邊算邊講），把它和橢圓的方程聯(lián)列，得到一元二次方程（2k）x-x-=0（*），注意這個方程的一個根就是點A的橫坐標-，所以不用直接解方程，利用未達定理可以得到B點的橫坐標是，縱坐標是，所以k====-，所以PA⊥P
4、B?！ ∩姡和坂?，老師你太厲害了！ 師：生1，你剛才計算到哪一步被卡住了？ 生1：把直線AC的方程與橢圓的方程聯(lián)列，后面感覺太繁了，沒有敢接著往下算?！ 煟旱拇_，這里聯(lián)列得到的是二元二次方程組，次數(shù)高，未知量多，如果不是后來發(fā)現(xiàn)了“方程的一個根就是點A的橫坐標”這個隱含條件的話，后面根本無法算下去，那么這種思路也只能停留在理論上了?！ 煟耗芊裼杏嬎闵晕⒑啽愕姆椒?？ 生2：我有一個和生1相反的思路，這里我也求點B坐標，但是我不用直線AC的方程與橢圓的方程聯(lián)列，而是把直線AC的方程和直線PB的方程聯(lián)列，這樣得到的是二元一次方程組
5、，次數(shù)低一點?！ 煟褐本€PB的方程沒有呀？ 生2：假設PA⊥PB，把直線AC的方程和直線PB的方程聯(lián)列得到點B坐標，然后證明點B在橢圓上，行不？ 師：這種方法行嗎？ ?。ù蠹一ハ嘤懻?，一會兒，生3舉起了手） 生3：應該可以的，好像是初中的“同一法”?！ 煟赫f得具體點?！ ∩?：假設PA⊥PB，把直線AC的方程和直線PB的方程聯(lián)列得到點B坐標，再證明點B在橢圓上，這樣點B′與點B重合，由此得到PA⊥PB?！ 煟亨?，思路不錯，不知道能否算出來，請大家試試看?！ ∩姡喊 。ㄟ^了近十分鐘，我請全班數(shù)學計算最好的生4來敘述解答
6、過程） 生4：l∶y=（x-），l∶y-=-（x-），聯(lián)列得到B′（，）；把點B′的坐標代入橢圓的方程有［］2［］=4，所以點B在橢圓上，點B′與點B重合，所以PA⊥PB?！ 煟弘m然改變了方法，簡化了運算，但是由于字母的存在，還需要大家具備必要的計算能力?！ 煟合旅嫖覀儊硇蕾p一種運算更為簡單的方法。由于要證明PA⊥PB，所以我們主要看斜率之間的關系，設P（x，y），B（x，y），則A（-x，-y），C（x，0）設直線PB，AB的斜率分別為k，k，由第一種方法我們知道k=，所以kk=2kk=2··===-1，即PA⊥PB。 ?。▽W生
7、一片驚訝之聲） 師：這個方法計算量很小，這里面我們雖然設了兩個點的坐標，共四個未知量，但是最終都沒有求，直接通過運算，以及坐標之間的關系得到了PA⊥PB，這種方法稱為“設而不求”，這是解題的最高境界?！ 煟阂陨衔覀兺ㄟ^三種方法解決這個問題，前兩個是大家想出來的，后一個是我給出的。從思路簡單的角度來看，第一種方法最好想；從運算的簡單程度來看，無疑第三種方法是最好的。我想大家都希望在高考的考場上一下子就想到第三種方法，對吧？ 生眾：是的。 師：這就要求我們在平時解題的過程中要多反思，通過不斷探索—反思—探索—反思這樣的循環(huán)反復，你的
8、解題能力才能得到提高?！ 煟罕绢}中由于k=，所以我們可以得到k·k=-，對照這個題目的條件和結論，我通過猜想，得到這個命題：若M，N是橢圓E：=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點
